ดูหนึ่งข้อความ
  #12  
Old 23 กันยายน 2016, 23:42
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การใช้กราฟและฟังก์ชันตรีโกณมิติมาประยุกต์ในการหาคำตอบของสมการกำลังสาม

ก่อนอื่นขออารัมภบทก่อนว่า............
จากทฤษฎีการวาดกราฟสมการกำลังสามที่ผมรวบรวมขึ้น มาจากการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ
ถ้ากำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D โดยที่ A\not= 0,B,C,D\in R$
$$x_{(relatively...min./max.)}=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $$
แล้วมาต่อยอดเป็น ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ ค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $
โดยที่ $(r,f(r))=จุดเปลี่ยนเว้า$ และค่า $a จะเกี่ยวข้องกับค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์$
แต่เพื่อความสะดวกในการวาดกราฟ ถ้าค่า $a$สามารถหาค่าเป็นจำนวนจริงได้ ผมจะให้ค่า $a เป็น+ เสมอ$ คือ $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $แต่ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ เหมือนเดิม
คือสมการ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ ถ้าเราสามารถหาค่า $r,a$ ได้แล้ว จะสามารถจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปแบบของ $A[(x-r)^{3}-3a^{2}(x-r)+\frac{f(r)}{A} ]=0$ ได้เสมอ ซึ่งจะเป็นไปตามสูตรของคาร์ดาน
$X^{3}+pX+q=0$ โดย $p=-3a^{2},q=\frac{f(r)}{A}$
.....ในการหาคำตอบของสมการกำลังสามที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริง เราจะสามารถจำแนกรากของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้จากค่าที่เขาเรียกว่า "ดิสคริมิแนนต์" แต่ผมจะขอสรุปในรูปแบบทฤษฎีของผมดังนี้ครับ
.....กรณี $a\not\in R$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R\not= 0$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ จะสามารถให้คำตอบได้ดังนี้
1. ถ้า $\left|\,f(r)\right| < 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง3ค่าที่แตกต่างกัน
2. ถ้า $\left|\,f(r)\right| = 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง2ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้น
3. ถ้า $\left|\,f(r)\right| > 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R= 0$ -$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D =0$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่าเท่านั้น
ลองดูวิธีการหาค่ารากของสมการกรณีที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า โดยใช้กราฟกับฟังก์ชัน sine มาประยุกต์ในการหาเพราะถ้าใช้ตามสูตรของคาร์ดานน่าจะมีความซับซ้อนในกรณีที่รากเป็นจำนวนจริง3ค่าอยู่พอสมควรและถ้ามองกันดีดี กราฟของสมการกำลังสามมีช่วงที่คล้ายกับฟังก์ชัน sine ครับ วิธีก็จะคล้ายกับเจ้าของบทความในกระทู้ครับแต้ผมเพิ่มเติม idea บางอย่างให้ดูง่ายขี้นเข้าไปครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
   
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้