ในเมื่อผ่านไปสองสัปดาห์แล้ว ยังไม่มีใครทำ
ดังนั้นผมขออนุญาตเฉลยเลยนะครับ
จาก $a,b,c>0$ และ
จาก $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$ ดังนั้น $a^{3}<1, b^{3}<1, c^{3}<1$
เราเคลมว่า $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}+6a^{2}b^{2}}{4ab}}\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
ซึ่งพิสูจน์ได้โดยการกระจาย $\left(a-b\right)^{4}\geq0$
แต่ $a^{3}<1, b^{3}<1, c^{3}<1$ ดังนั้น
$$\sqrt{\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{3}{2}ab}>\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $\sqrt{\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}+\frac{3}{2}bc}>\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ และ $\sqrt{\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{3}{2}ca}>\sqrt{c^{2}+a^{2}}$
หลังจากรวมทั้งสามอสมการ และโดย Power Mean ในขั้นตอนสุดท้าย จะได้ว่า
$$\sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{9}{2}\left(ab+bc+ca\right)}>\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b ^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$$
ตามต้องการ
ปล. โจทย์ต้องแก้เป็น $\frac{3}{2}$ นะครับ ไม่เช่นนั้นแล้วถ้าแทนให้ $a=b=c=3^{-\frac{1}{3}}$ แล้วไม่จริง
