อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ครับ...ส่วนวิธีทำข้อของผมแบบคร่าวๆนะครับคือเปรียบเทียบอนุกรมอนันต์2อัน
เรารู้ว่า$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\;converges\;$แต่ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ$diverges $
ซึ่งจะเห็นว่าจำนวนที่เป็นกำลัง2สมบูรณ์ไม่มีทางเป็นจำนวนเฉพาะครับ
พอกลับเศษเป็นส่วนก็จะได้ว่ามีช่วงที่มีแบบดังกล่าวที่มีจนวนเฉพาะอยู่มากกว่า1ตัว
ทีนี้ถ้าช่วงเหล่านี้มีเป็นจำนวนจำกัดผลต่างก็จะเป็นจำนวนจริงซึ่งจะได้ว่า
อนุกรมที่เป็นส่วนกลับของจำนวนเฉพาะนั่นจะลู่เข้าแต่จริงๆมันลู่ออกเลยได้ครับ 
|
อ๋อ... ผมว่าผมเข้าใจแนวคิดของคุณ Timestopper_STG แล้วล่ะ เป็นวิธีที่เหนือชั้นกว่าของผมมากเลยครับ เพราะไม่ต้องไปพึ่งทฤษฎีชั้นสูงอย่าง Prime Number Theorem ใช้ความรู้พื้นๆก็เอาอยู่แล้ว
ถ้าผมเขียนการพิสูจน์ตามสไตล์ของผม แต่ใช้แนวคิดของคุณ Timestopper_STG ก็จะได้ออกมาดังนี้ครับ
ให้ $p_n$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$
สมมติว่าข้อความที่ต้องการพิสูจน์เป็นเท็จ นั่นคือมีจำนวนนับ $m$ ที่เมื่อ $n \ge m$ แล้วระหว่าง $n^2$ กับ $(n+1)^2$ มีจำนวนเฉพาะอยู่ไม่เกิน 1 ตัว
ถ้า $p_k > m^2$ แล้วเราจะได้ว่า $$ \begin{array}{rcl} p_{k+1} & > & (m+1)^2 \\ p_{k+2} & > & (m+2)^2 \\ & \vdots & \\ p_{k+i} & > & (m+i)^2 \end{array} $$ นั่นคือ $p_n > (n+c)^2$ เมื่อ $n \ge k$ และ $c = m-k$ เป็นค่าคงที่
ดังนั้นเราจึงได้ว่า $$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{p_n} \; \le \; \sum_{n=1} ^{k-1} \frac{1}{p_n} + \sum_{n=k} ^\infty \frac{1}{(n+c)^2} \; < \; \infty $$ ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่า อนุกรมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะนั้นลู่ออก
หมายเหตุ เวลาเขียนภาษาอังกฤษธรรมดา ให้เอาไว้นอก LaTeX ครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
36.จงแสดงว่ามีจำนวนนับ$n$อยู่อย่างไม่จำกัดที่ทำให้
ระหว่าง$n^2$กับ$(n+1)^2$มีจำนวนเฉพาะอยู่มากกว่า1ตัว
|
จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ ถ้าเปลี่ยนจาก "ยกกำลังสอง" เป็น "ยกกำลัง $1+ \epsilon$ " เมื่อ $\epsilon$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ และเปลี่ยน "อยู่มากกว่า 1 ตัว" เป็น "อยู่มากกว่า $k$ ตัว" เมื่อ $k$ เป็นจำนวนนับใดๆ โจทย์นี้ก็ยังใช้ได้อยู่ครับ
ป.ล. ช่วงนี้ผมเริ่มล้าจริงๆแล้วครับ ตอบติดต่อกันทุกวัน วันละหลายๆกระทู้ ยังไงถ้าผมตอบอันไหนช้าไปบ้างก็ขออภัยล่วงหน้าไว้ ณ ที่นี้เลยนะครับ