เอ๊ะ... คุณ M@gpie แอบมาแก้ไขข้อความเสียตั้งแต่เมื่อไหร่ บังเอิญนะเนี่ยผมเข้ามาเอาโจทย์ ถึงได้เห็นการเปลี่ยนแปลง
สมการในข้อ 7. เป็น
Riccati equation ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะหาคำตอบออกมาในรูปง่ายๆไม่ได้ ในกรณีของข้อนี้ ผมเดาว่าคงหาไม่ได้เช่นกันครับ
ถ้ารู้ initial condition เราน่าจะหาคำตอบโดยใช้ power series ได้ โดยให้ $$ y= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ แล้วแทนค่าในสมการ $$ \cosh x (y'+y^2) -\sinh x =0 $$ กระจาย $\cosh x$ และ $\sinh x$ ด้วย Taylor series (เราไม่กระจายจาก $\tanh x$ โดยตรงเพราะกระจายยาก และมี finite radius of convergence) แล้วจึงค่อยแก้สมการหา $a_n$ ซึ่งทั้งหมดนี้เป็นงานหนักมาก คงต้องทำด้วยคอมพิวเตอร์ ถ้าได้ $a_n$ มาหลายๆตัว อาจโชคดีมองเห็น รูปแบบทั่วไปของมันก็เป็นได้ครับ (ถึงไม่รู้ initial condition ก็ทำอย่างนี้ได้ แต่ $a_n$ มันจะติดตัวแปรเละเลยครับ)
ผมใช้พวก Maple หรือ Mathematica ไม่เป็น ถ้าใครใช้เป็นจะลองทำแบบง่ายๆดูก่อน โดยให้ $y(0)=y'(0)=0$ ก็ได้ครับ
ป.ล. ผมมีความรู้เกี่ยวกับ differential equation น้อยมากๆ แต่ที่เข้ามาตอบเพราะ เห็นไม่มีใครตอบ และไม่เห็นด้วยกับคำตอบในตอนแรกของคุณ M@gpie ก็แค่นั้นแหละครับ