ตอนนี้ผมถูกความขี้เกียจเข้าครอบงำอย่างหนัก เลยไม่ค่อยอยากทำข้อที่
ต้องพิมพ์เยอะๆน่ะครับ
ตอบข้อ 35. จาก binomial theorem จะได้
\[\frac{1-\left(1-x\right)^n}{x}=\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i-1}{n\choose i}x^{i-1}\]
ดังนั้น
\[\sum_{i=1}^n\frac{\left(-1\right)^{i-1}}{i}{n\choose i}=\int_0^1\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i-1}{n\choose i}x^{i-1}\,dx\]
\[=\int_0^1\frac{1-\left(1-x\right)^n}{x}\,dx\]
ให้ u = 1 - x จะได้
\[\sum_{i=1}^n\frac{\left(-1\right)^{i-1}}{i}{n\choose i}=\int_0^1\frac{1-u^n}{1-u}\,du\]
\[=\int_0^11+u+u^2+\dots+u^{n-1}\,du\]
\[=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\]