[Amankris]

โอ๊ะ ยังมีคนข้ามาดูอยู่เหมือนกัน

ข้อ 10 วันแรก ข้อนี้ดูเหมือนยาก (แค่รายละเอียดเยอะหน่อย)

ให้ $p\geq5$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $\dfrac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำซึ่ง$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots+\frac{1}{(p-1)^2}=\frac{a}{b}$$ แล้วจงแสดงว่า $p\mid a$

Solution

ให้ $A=\left\{1,2,3,\ldots,p-1\right\}$

นิยามลำดับ $a_k\in A$ โดย $a_k\equiv k^{p-2}(mod\ p),\forall k\in A$ จะได้ว่า $a_k\cdot k\equiv1(mod\ p)$

Claim 1. $\forall i\not=j\in A,a_i\not=a_j$

Hide

สมมติ $\exists i\not=j\in A,a_i=a_j$

โดยไม่เสียนัย ให้ $i>j$ พบว่า $0<i-j<p-2$

และ $i-j\equiv i(j\cdot a_j)-j\equiv j(i\cdot a_j-1)\equiv j(i\cdot a_i-1)\equiv 0(mod\ p)$

นั่นคือ $p\mid i-j$ ดังนั้น $p<p-2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $\forall i\not=j\in A,a_i\not=a_j$

Claim 2. $\left\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{p-1}\right\}=A$

Hide

จากนิยามได้ว่า $\left\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{p-1}\right\}\subseteq A$

และจาก Claim 1. ได้ว่า $|\left\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{p-1}\right\}|=|A|$ โดยที่ $A$ เป็นเซตจำกัด

ดังนั้น $\left\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{p-1}\right\}=A$

Claim 3. $p\mid a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_{p-1}^2$

Hide

จาก Claim 2. ได้ว่า $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_{p-1}^2=1^2+2^2+3^2+\ldots+(p-1)^2=\dfrac{(p-1)(p)(2p-1)}{6}$

จาก $p\geq5$ ดังนั้น $\gcd(p,6)=1$

นั่นคือ $p\mid a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_{p-1}^2$

Claim 4. $p\mid a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_{\frac{p-1}{2}}^2$

Hide

จาก $a_k\equiv a_k(p-k)a_{p-k}\equiv a_k(-k)a_{p-k}\equiv -a_{p-k}(mod\ p),\forall k\in A$

ดังนั้น $a_k^2\equiv a_{p-k}^2(mod\ p),\forall k\in A$

จะได้ว่า $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}a_k^2=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_k^2+\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_{\frac{p-1}{2}+k}^2=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_k^2+\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_{p-k}^2\equiv2\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_k^2(mod\ p)$

จาก Claim 3. ได้ว่า $\displaystyle p\mid\sum_{k=1}^{p-1}a_k^2$ และจาก $p\geq5$ ได้ว่า $\gcd(p,2)=1$

ฉะนั้น $\displaystyle p\mid\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_k^2$

Claim 5. $p\mid a$

Hide

ให้ $n=\left(\dfrac{p-1}{2}\right)!$ และ จัดรูปสมการใหม่เป็น $$\frac{4an^2}{b}=\left(\frac{n}{1}\right)^2+\left(\frac{n}{2}\right)^2+\left(\frac{n}{3}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n}{\frac{p-1}{2}}\right)^2$$
จะเห็นว่าพจน์ด้านขวามือทุกพจน์เป็นจำนวนนับ ดังนั้น $\dfrac{4an^2}{b}$ เป็นจำนวนนับ

ได้ว่า

$\displaystyle \frac{4an^2}{b}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{n^2}{k^2}\right)\equiv\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{n^2k^2a_k^2}{k^2}\right)\equiv\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(n^2a_k^2\right)\equiv n^2\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}a_k^2\equiv0(mod\ p)\ \ \ \ \ $ (จาก Claim 4.)

แต่ $\gcd(p,4)=1$ และ $\gcd(p,n)=1$ ดังนั้น $p\mid a$