อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer
มีแบบที่ไม่ใช้ induction ไหมครับ
|
แหม อุตส่าห์ลอกเขามาให้ แล้วยังไม่เอา
เอาใหม่ ไม่รู้จะใช้ได้หรือเปล่า
กำหนดให้
ผลรวมของ $ i_{(1ถึงn)} = 1+2+3+4+.....+ n = \frac{1}{2}n(n+1)$
ผลรวมของ $ i^2 _{(1^2ถึงn^2)}= 1^2+2^2+3^2+4^2+.....+ n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
ผลรวมของ $ i^3_{(1^3ถึงn^3)} = 1^3+2^3+3^3+4^3+.....+ n^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
$ \ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = $ ผลรวมของ$i(i+1)(i+2) $
$i(i+1)(i+2) = i^3 + 3i^2 +2i $
ผลรวม $i(i+1)(i+2) $ = ผลรวม $i^3$ + ผลรวม $3i^2$ +ผลรวม $2i $
$= [\frac{1}{4}n^2(n+1)^2] + [3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)] + [2 \cdot \frac{1}{2} \cdot n(n+1)]$
$= n(n+1)[\frac{n(n+1)}{4} + \frac{(2n+1)}{2} + 1]$
$= \frac{n(n+1)}{4}[n(n+1)+2(2n+1)+4]$
$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+n+4n+2+4]$
$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+5n+6]$
$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
ดังนั้น $ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
พยายามเข้าใจหน่อยนะครับ หมดพุงแล้ว