เอกลักษณ์พวกนี้ผมจดมาจากอาจารย์ในค่ายครับ มีความจำเป็นในการแก้โจทย์บางข้อดังที่ผมได้โพสต์ไปข้างบนครับ ทุกข้อพิสูจน์ได้ด้วยการอุปนัยบนตัวแปร $m$ ครับ
ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ และ $m,n \in \mathbb{N}$ โดยที่ $m\geq n$ จะได้ว่า
1. $a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+a^{m-2}+...+a+1)$
2. $a^m-1=(a^n-1)(a^{m-n}+a^{m-2n}+...+a^n+1)$ เมื่อ $n\mid m$
3.$a^m-1=(a^n+1)(a^{m-n}+a^{m-2n}+...+a^r)+(a^r-1)$ เมื่อ $n\nmid m$ และ $m=nq+r$ , $0<r<n$
4.$a^m-1=(a^n+1)(a^{m-n}-a^{m-2n}+...+a^n-1)$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นคู่
5.$a^m+1=(a^n+1)(a^{m-n}-a^{m-2n}+...-a^n+1)$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นคี่
6.$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+...+ab^{m-2}+b^{m-1})$
7.$a^m-b^m=(a^n-b^n)(a^{m-n}+a^{m-2n}b^n+...+a^nb^{m-2n}+b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$
8.$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+...-ab^{m-2}+b^{m-1})$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนคี่
9.$a^m+b^m=(a^n+b^n)(a^{m-n}-a^{m-2n}b^n+...-a^nb^{m-2n}+b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นจำนวนคี่
10. $a^m-b^m=(a^n+b^n)(a^{m-n}-a^{m-2n}b^n+...+a^nb^{m-2n}-b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นจำนวนคู่