[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

1. ให้ $x_1,x_2,x_3$ เป็นรากของสมการ ทำให้ได้ว่า $x_1+x_2+x_3=x_1x_2x_3$

โดย AM-GM ทำให้ได้ $x_1x_2x_3 \geq 3\sqrt{3}$ จาก $(x_1+x_2+x_3)^2 \geq 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$

เอาไปแทนในโจทย์ได้ $\dfrac{2a^3-3ab+3b}{b+1} \geq \dfrac{6ab-3ab+3b}{b+1} = 3a$

แต่ $a \geq 3\sqrt{3}$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $9\sqrt{3}$ เกิดสมการเมื่อ $x_1=x_2=x_3$

2. $a_n^2+(-1)^n=a_{n+1}a_{n-1}$

แทน n ด้วย n-1 แล้วนำสองสมการมาบวกกันจึงได้

$a_n^2+a_{n-1}^2=a_{n+1}a_{n-1}+a_na_{n-2}$

$\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \dfrac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_n-a_{n-2}}$

จึงได้...

$\dfrac{a_n}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_3-a_1}$

แทนค่า $a_1,a_2,a_3$ ลงในสมการ

$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$

จึงได้ $a_n = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\,(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n\right) $

$a_n^2+a_{n-1}^2= a_{2n-1}$

อีกข้อยังไม่ออกอ่าครับบ