[Metamorphosis]

ค่าย 1/2554 Inequality

$$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geqslant \frac{a+b+c}{3} $$

Am-gm
$a^3+a^3+b^3 \geqslant 3a^2b$ และ $b^3+b^3+a^3 \geqslant 3ab^2$
จะได้ว่า $a^3+b^3 \geqslant a^2b+ab^2$

$3a^3 = 2a^3+a^3 \geqslant 2a^3+a^2b+ab^2-b^3 = 2a^3-a^2b+2a^2b-ab^2+2ab^2-b^3$
$3a^3 \geqslant (2a-b)(a^2+ab+b^2)$

จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b^2+ab} \geqslant \frac{2a-b}{3} = \frac{a+b+c}{3} $$