[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 009

มีของ 3 ชิ้น ก็แบ่งอีกชิ้นละ 2 ส่วนเป้น 6 ส่วน
แจกๆๆๆ เหลือ 1 ส่วน แบ่งเป็น 5 ส่วนอีกครั้ง
\\( \displaystyle{\frac{3}{5}\ \ =\ \ \frac{1}{2}+\frac{1}{10}} \)

อีกข้อ ไม่มีคำตอบ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ครับ
คือ ถ้าแบ่งด้วยวิธีเดิม จะได้เป็น เศษส่วน 3 ตัวบวกกันครับ
เอาหละครับ เดี่ยวผมจะพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ (กำหนดให้โดเมนคือ จำนวนเต็มบวกนะครับ)
\(\displaystyle{\begin{array}{rcl}\frac{4}{5}&=&\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\\ \frac{x+y}{xy}&=&\frac{4}{5}\\x+y&=&4a&...(1)\\xy&=&5a&...(2)\\y&=&4a-x\\x(4a-x)&=&5a\\x^2-4ax+5a&=&0\\ \therefore x&=&\frac{4a\pm \sqrt{16a^2-20a}}{2}\\&=&2a\pm \sqrt{a(4a-5)} \end{array}} \)
จะได้ a > 1 ในรากจะได้ไม่ติดลบ

กรณีที่ 1 a ไม่เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
เนื่องจากต้องถอดรากลงตัว (เพื่อให้เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งในรากมีตัวประกอบตัวหนึ่งแล้ว
\a|4a+5
จาก a|4a-5 และ a|4a\a|5
a = 5 ซึ่งเมื่อแทนลงไปแล้วก็ถอดรากไม่ลงตัวครับ

กรณีที่ 2 a เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
ให้ \( \displaystyle{a\ \ =\ \ pq^2_1 q^2_2 q^2_3\cdots q^2_n} \)เมื่อ p ไม่เป็นจำนวนประกอบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
จาก x = 2a ฑ\( \sqrt{\displaystyle{pq^2_1 q^2_2 q^2_3\cdots q^2_n(4a-5)}} \)
x = 2a ฑ\( \displaystyle{q_1 q_2 q_3\cdots q_n\sqrt{p(4a-5)}} \)
ในรากต้องถอดลงตัว เพื่อให้ได้ x ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
จาก p|4a-5 และ p|4a \p|5
p=1,5
ขั้นตอนนี้มาช่วยผมหน่อยนะครับ ว่า ึ4a-5 กับ ึ5(4a-5) ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็ม (ผมลองใช้โปรแกรมหาแล้วครับ ว่าไม่มี)

จาก 2 กรณี ก็พอสรุปได้ว่า ไม่มีครับ
ปล.ถ้าป็นจำนวนลบได้ จะมีคำตอบคือ 1/1 - 1/5 คับ