ให้ $d=(a,b)$
จะได้ว่า $(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$
นั่นคือ $(\frac{a+b}{d},\frac{a}{d})=1$ และ $(\frac{a+b}{d},\frac{b}{d})=1$
จะได้ว่า $(\frac{a+b}{d},\frac{ab}{d^2})=1$
นั่นคือ $(a+b,\frac{ab}{d})=d$
แต่ $\frac{ab}{(a,b)}=[a,b]$
ดังนั้น $(a,b)=(a+b,[a,b])$ ตามต้องการ
|