อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
79. หาจำนวนเต็ม $x,y,z$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $2x^3+3y^3+6z^3=18xyz$
80. หาจำนวนเต็ม $x,y,z \not= 0$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{6}$ เป็นจำนวนเต็ม
81. หาจำนวนเต็ม $x,y \not= 0$ และ $a>0$ เป็น square free ที่ทำให้ $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}$ เป็นจำนวนเต็ม
|
ชัดเจนว่า $(x,y,z)=(0,0,0)$ เป็นหนึ่งคำตอบ
มี 1 ตัวแปรที่เป็น 0- ถ้า $x=0$ และ $y,z\not=0$ จะได้ว่า $3y^3+6z^3=0$ จัดรูปเป็น $(\frac{y}{z})^3=2$ ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม เพราะ $\sqrt[3]{2}$ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
ในทำนองเดียวกัน ถ้าหากว่าเฉพาะ $y=0$ หรือเฉพาะ $z=0$ ก็จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
มี 2 ตัวแปรที่เป็น 0- ถ้ามีสองตัวแปรใดๆเป็น 0 จะได้ว่าตัวแปรสุดท้ายต้องมีค่าเท่ากับ 0 ด้วย ได้คำตอบซ้ำกับ $(x,y,z)=(0,0,0)$
ไม่มีตัวใดเป็น 0- สมมติว่ามีคำตอบ $x,y,z$ ซึ่งไม่มีตัวใดเป็น 0 สังเกตว่าสมการนี้เป็นพหุนาม homogeneous ถ้าหากว่า $d=\gcd(x,y,z)>1$ เราสามารถลดทอนรูปของสมการให้เป็น
$$2\left(\frac{x}{d}\right)^3+3\left(\frac{y}{d}\right)^3+6\left(\frac{z}{d}\right)^3=18\left(\frac{x}{d}\right)\left(\frac{y}{d }\right)\left(\frac{z}{d}\right)$$
หรือก็คือ $2X^3+3Y^3+6Z^3=18XYZ$ โดยที่ $\gcd(X,Y,Z)=1$ ดังนั้น เราสามารถสมมติได้ว่าคำตอบ $(x,y,z)$ สอดคล้องเงื่อนไข $\gcd(x,y,z)=1$
จากสมการ $2x^3+3y^3+6z^3=18xyz$ สังเกตว่า 3 หารทุกพจน์ลงตัวหมด ยกเว้น $2x^3$ ดังนั้น $3 \mid 2x^3$ เช่นกัน จึงได้ว่า $3 \mid x$ สมมติว่า $x=3a$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $a \not=0$ แทนลงในสมการและหาร 3 ตลอด ได้เป็น
$$18a^3+y^3+2z^3=18ayz$$
ในทำนองเดียวกัน สังเกตว่า 2 หารทุกพจน์ลงตัวหมดยกเว้น $y^3$ แสดงว่า $2 \mid y^3$ นั่นคือ $2 \mid y$ สมมติว่า $y=2b$ สำหรับบาง $b \not=0$ แทนลงในสมการและหารตลอดด้วย 2 เป็น
$$9a^3+4b^3+z^3=18abz$$
พิจารณาสมการนี้ใน mod 9 ลดรูปเหลือแค่
$$4b^3+z^3 \equiv 0 \pmod{9}$$
ใช้ข้อเท็จจริงว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ $n^3 \equiv 0,1,8 \pmod{9}$ เขียนเศษเหลือที่เป็นไปได้ของ $4b^3+z^3$ พบว่ามีเพียงกรณีเดียวที่ทำให้เศษเหลือเป็น 0 นั่นคือ เมื่อ $b^3 \equiv 0 \pmod{9}$ และ $z^3 \equiv 0 \pmod{9}$ จึงได้ว่า $3 \mid b$ และ $3 \mid z$
อย่างไรก็ตาม เดิมมี $3 \mid x$ และยังได้ว่า $3 \mid y$ (เพราะ $y=2b$ และ $3 \mid b$) และ $3 \mid z$ เกิดข้อขัดแย้งกับข้อสมมติที่ว่า $\gcd(x,y,z)=1$ จึงได้ว่าไม่มีคำตอบในกรณีนี้
โดยสรุปแล้ว สมการนี้มีคำตอบเดียวคือ $(x,y,z)=(0,0,0)$
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x,y,z \not=0$ และจำนวนเต็ม $k$ ที่ทำให้
\begin{align}
x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{6} &= k\\[5pt]
x\sqrt{2}+y\sqrt{3} &= k-z\sqrt{6}\\[5pt]
2x^2+3y^2+2xy\sqrt{6} &= k^2+6z^2-2kz\sqrt{6}\\[5pt]
(2xy+2kz)\sqrt{6} &= k^2+6z^2-2x^2-3y^2
\end{align}
เนื่องจาก $\sqrt{6}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ $x,y,z,k$ ต่างเป็นจำนวนเต็ม จึงได้ว่ามีกรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ $2xy+2kz=0$ และ $k^2+6z^2-2x^2-3y^2=0$ คูณสมการแรกด้วย $\sqrt{6}$ และบวกเข้ากับสมการสอง จัดรูปได้ว่า
\begin{align}
k^2+6z^2+(2\sqrt{6})kz &= 2x^2+3y^2-(2\sqrt{6})xy\\[5pt]
(k+z\sqrt{6})^2 &= (x\sqrt{2}-y\sqrt{3})^2\\[5pt]
k+z\sqrt{6} &= \pm (x\sqrt{2}-y\sqrt{3})
\end{align}
กรณีเป็นบวก- ถ้า $k+z\sqrt{6}=x\sqrt{2}-y\sqrt{3}$ บวกกับสมการเดิมคือ $k-z\sqrt{6}=x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ ได้เป็น $2k=(2\sqrt{2})x$ แต่ $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ และ $x \not=0$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
กรณีเป็นลบ- ถ้า $k+z\sqrt{6}=-x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ บวกกับสมการเดิมคือ $k-z\sqrt{6}=x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ ได้เป็น $2k=(2\sqrt{3})y$ แต่ $\sqrt{3}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ และ $y \not=0$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็ม $x,y,z \not=0$ และ $k$ ตามต้องการ
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
ให้ $a>0$ เป็น square-free สมมติว่า $a=p_1 p_2 \cdots p_n$ เมื่อ $p_1,p_2,\ldots,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x,y \not=0$ และจำนวนเต็ม $z$ ที่ลอดคล้องสมการ $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}=z$ สังเกตว่าถ้า $z=0$ จะทำให้เกิด $-\frac{x}{y}=\sqrt[3]{a}$ เป็นข้อขัดแย้ง เพราะ $\sqrt[3]{a}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จึงสรุปได้ว่า $z \not=0$ เช่นกัน
ยกกำลังสามโดยกระจายฝั่งซ้ายของสมการในรูป $(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)$ ได้ว่า
$$(x\sqrt[3]{a})^3+(y\sqrt[3]{a^2})^3+3(x\sqrt[3]{a})(y\sqrt[3]{a^2})(x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}) = z^3$$
เนื่องจาก $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}=z$ แทนลงในวงเล็บขวาสุดของฝั่งซ้ายของสมการ ได้ว่า
$$ax^3+a^2y^3+3axyz = z^3$$
เนื่องจากสมการนี้เป็นพหุนาม homogeneous ในทำนองเดียวกับข้อ 79 สมมติว่าคำตอบสอดคล้องเงื่อนไข $\gcd(x,y,z)=1$
จากสมการข้างต้น สังเกตว่า $a$ หารทุกพจน์ลงตัวหมดยกเว้น $z^3$ จึงได้ว่า $a \mid z^3$ ด้วยเช่นกัน แต่ $a=p_1 p_2 \cdots p_n$ แสดงว่า $p_i \mid z^3$ และทำให้ได้ $p_i \mid z$ ทุก $i=1,2,\ldots,n$ แต่ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันหมด จึงได้ว่า $p_1 p_2 \cdots p_n \mid z$ หรือก็คือ $a \mid z$ กำหนดให้ $z=aw$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $w \not= 0$ เมื่อแทนลงในสมการแล้วหารตลอดด้วย $a$ จะได้ว่า
$$x^3+ay^3+3axyw = a^2w^3$$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $a \mid x^3$ และใช้ความเป็น square-free ของ $a$ สรุปว่า $a \mid x$ ในแบบเดียวกับที่เพิ่งแสดงไป กำหนดให้ $x=au$ สำหรับบาง $u \not=0$ แทนในสมการแล้วหารตลอดด้วย $a$ ได้เป็น
$$a^2u^3+y^3+3auyw = aw^3$$
เช่นเดียวกัน สังเกตว่า $a \mid y^3$ จึงทำให้ $a \mid y$ ได้ข้อสรุปว่า $a \mid x$, $a \mid y$ และ $a \mid z$ เกิดข้อขัดแย้งกับข้อสมมติที่ว่า $\gcd(x,y,z)=1$
ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็ม $x,y,z\not=0$ ตามต้องการ
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
ปล. ความหมายในเชิง linear algebra ของข้อ 80 และ 81 ก็คือ $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ และ $\{1,\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{a^2}\}$ ใน vector space $\mathbb{R}$ บนฟีลด์ $\mathbb{Q}$ ต่างเป็นเซตอิสระเชิงเส้น