Lemma: มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots n$
จะพิสูจน์โดยการอุปนัย
กรณี $n=1$ จาก $5^2=4^2+3^2$ ได้ว่าขั้นฐานเป็นจริง
ต่อไปให้เมื่อ $n=k$ เป็นจริง
สมมติว่า $5^{2k}=a_i^2+b_i^2$ โดยที่ $5^{i-1}||a_i,5^{i-1}||b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$
ให้ $x_{i+1}=5a_i,y_{i+1}=5b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (พูดง่ายๆก็คือ $x_2=5a_1,x_3=5x_2,y_2=5b_1,y_3=5b_2$ ไปเรื่อยๆ)
จะได้ว่า $5^{2k+2}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,y_i$ เมื่อ $i=2,3,\cdots k+1$
คราวนี้ สังเกตว่า $5^{2k+2}=(4^2+3^2)(a_1^2+b_1^2)=(4a_1+3b_1)^2+(4b_1-3a_1)^2=(4a_1-3b_1)^2+(4b_1+3a_1)^2$
แสดงได้ว่า $5\not | (4a_1+3b_1) \vee 5\not | (4a_1-3b_1) $ เราก็ให้ตัวที่ 5 หารไม่ลงตัว เป็น $x_1$
สมมติว่าเป็น $x_1=4a_1+3b_1$ เราให้ $y_1=4b_1-3a_1$ เราจะได้ว่า $5\not |y_1$
นั่นคือ $5^{2k+2}=x_1^2+y_1^2$ โดยที่ $5^0||x_1,y_1$
แปลว่า ขั้นอุปนัยเป็นจริง ตามต้องการ
จาก Lemma ตรงนี้ ก็จะได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน
ป.ล. ข้อ 9 มันดูแปลกๆนะครับ เพราะว่า ถ้าให้ $a_i,x$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ $t=4(a^2x^2+ax)=m^2.$ ในขณะที่ $t+1=(2ax+1)^2=n^2$ แปลว่า $1=n^2-m^2$ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $n=\pm 1,m=0$ แปลว่า $a=0\vee x=0 \vee ax=1$ ซึ่งมันดู fix คำตอบมากเกินไป
