แบบฝึกหัด สอวน.ทฤษฎีจำนวน เรื่อง การหารลงตัว
แบบฝึกหัดเรื่องทฤษฎีจำนวน
1) จงแสดงว่า $(3n+4,2n+3)=1$ สำหรับทุกๆ จำนวนเต็ม $n$
2) จงแสดงว่า ผลคูณของจำนวนเต็ม $n$ ที่เรียงต่อเนื่องกันจะหารด้วย $n!$ ลงตัว
3) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $2^{n-1}$ หาร $n!$ ลงตัว
4) ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $10^n+18n-1$ หารด้วย $27$ ลงตัว
5) จงตรวจสอบว่า "$n$ หารผลบวกของจำนวนเต็มบวก $n$ จำนวนที่เรียงต่อเนื่องลงตัวเสมอ" จริงหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผล
6) จงหาจำนวนเซตที่สร้างจากจำนวนเต็มบวกอย่างน้อย $2$ จำนวนที่ผลรวมของสมาชิกในเซตเท่ากับ $100$
7) จงแสดงว่า ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$
8) จงแสดงว่า $n^5-5n^3+4$ หารด้วย $120$ ลงตัว สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$
9) มีจำนวนนับตั้งแต่ $1$ ถึง $100$ รวมทั้งสิ้นกี่จำนวนซึ่งเมื่อหารด้วย $6$ แล้วเหลือเศษ $2$ และเมื่อหารด้วย $14$ เหลือเศษ $1$
10) จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หาร $(30)^4$ ลงตัว
11) จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^n$ หาร $1005!$ ลงตัว มีค่าเท่าใด
12) จงหาจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ $1$ ถึง $100$ ที่หารด้วย $2,3,4,5$ ลงตัว
13) ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงว่า $n^5-n$ หารด้วย $30$ ลงตัว
14) มีจำนวนเต็มทั้งหมดกี่จำนวนที่อยู่ระหว่าง $1$ ถึง $2545$ ที่ $3$ หรือ $7$ หารลงตัว
15) จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ ทั้งหมดที่ $x<y<z$ และ $(x,y)=(x,z)=(y,z)=1$ รวมทั้ง $z$ หาร $x+y$
16) จงแสดงว่า ถ้า $n\in \mathbb{N} $ แล้ว $[n,n+2]=\frac{1}{2}n(n+2) $
17) จงแสดงว่า ถ้า $n\in \mathbb{Z} $ แล้ว $4\nmid (n^2+1)$
18) จงแสดงว่า ถ้า $(a,4)=2$ และ $(b,4)=2$ แล้ว $(a+b,4)=2$
19) ให้ $a,b,c\in \mathbb{Z} $ จงพิสูจน์ว่า $6|(a+b+c)$ ก็ต่อเมื่อ $6|(a^3+b^3+c^3)$
20) $n,k\in \mathbb{N} $ โดยที่ $n\geqslant 2$ จงพิสูจน์ว่า $(n-1)^2|(n^k-1)$ ก็ต่อเมื่อ $(n-1)|k$
21) จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าข้อความนั้นเป็นจริงจงพิสูจน์ แต่ถ้าข้อความนั้นเป็นเท็จจงยกตัวอย่างค้าน
(21.1) ถ้า $(a,b)=1$ แล้ว $(2a+b,a+2b)=1 หรือ 3$
(21.2) ถ้า $(a,b)=1$ แล้ว $(a+b,a^2+b^2)=1 หรือ 2$
(21.3) ถ้า $(a,b)=1$ แล้ว $(a+b,a^2-ab+b^2)=1 หรือ 3$
22) จงแสดงว่า ถ้า $(3!)^n|(3n)!$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ ที่ $n\geqslant 0$
|