ข้อ 7 เกือบตาย ทด อยู่เกือบ 2 ชั่วโมง
(คาดว่าใครทดข้อนี้ได้ในห้องสอบ อาจไม่เหลือเวลาทดข้ออื่น)
คำตอบคือ E เป็นจุดที่ ทำให้ AD ขนานกับ ฺBE
สมมติ (APD) ตัด (BPE) ที่ Q (คนละจุดกับ P) (Easy to prove by contradiction ว่า 2 วงนี้ไม่สัมผัสกัน และยืนยันได้ว่า Q exists )
อันดับแรก จะ derive สูตร $ O_1O_2$ ให้ได้ก่อนครับ
รายละเอียด ขอไม่เขียนหมดเพราะมันจุกจิกเกิน เอาเป็นว่า วิธีทำ เริ่มจากลากเส้นจาก center ทั้ง 2 จุดมาตั้งฉากกับ DC แล้ว ใช้ Pythaogorus + อัตราส่วน sin ,cos derive ให้อยู่ใน form $ (O_1O_2)^2 = \underbrace{(r_xcos x - r_ycosy)^2+(r_xsin x + r_ysiny)^2}_{(**)} = (r_x)^2+(r_y)^2 - 2r_xr_y\cos D\hat{Q}E $
(จริงๆ ตรงที่ (**) ไว้มันขึ้นกับ ตำแหน่งของ P ด้วยครับว่าให้สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน แต่ ตอนจบก็เหมือนกัน โดย r ที่ผมเขียน ก็คือรัศมี ส่วนมุม x,y ก็มาจากมุม DAP , PBE)
จากนั้น ใช้ Law of sine เปลี่ยนค่า r ทั้งสองใน form DQ, QE แล้วมันจะเข้าสูตร law of cosine อย่าง งดงามเป็น $O_1O_2 = \frac{DE}{2\sin Q\hat{P}D}$
คราวนี้ ก็ต้องตามล่าหาจุด E ที่ทำให้ค่า sin ตัวนี้ อิสระจาก P
โดย ถ้า E ที่เป็นจุดที่ผมบอกไป มันจะพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า จุด Q, A, B อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ดังนั้น $\sin Q \hat{P}D = \sin D\hat{A} Q = \sin D\hat{A}B $ ซึ่งไม่ขึ้นกับ P
---------------------------------------------------------------------------------
และเพื่อระบายความอัดอัั้น ที่ทดเกือบ 2 ชั่วโมง ผมมีคำถามคู่ขนานกับข้อนี้ครับ (ใครสนใจก็ลองทดดูได้ครับ ไม่ต้องใช้ตรีโกณ ใช้ความรู้เรขาล้วนๆ)
กำหนดสี่เหลี่ยมนูน ABCD โดย มุม A เป็นมุมป้านและ D เป็นมุมแหลม พิสูจน์ว่ามี จุด E ( $\neq D$) บนเส้นตรง CD ที่สอดคล้องกับ
"ทุก P ($\neq C,D$) บนส่วนของเส้นตรง CD ที่ทำให้ circumcircle (APD) ,(BPE)ตัดกัน อีกจุดที่ Q ($\neq P$) แล้ว set of points Q อยู๋บน fixed circle ไม่ขึ้นกับ P "