[warut]

โจทย์ข้อ 12. น่าสนใจมากครับ

(1) ผมขอเริ่มจากการพิสูจน์ว่า $$ u_0>1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} u_n = \infty $$ ให้ $v_n=u_n-1$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n\ge0$

ดังนั้น $ v_{n+1} = v_n^2+v_n $ และ $v_0>0$ และเราจึงได้ว่า $v_n>0$ เสมอ

และจากที่ $ v_{n+1} - v_n = v_n^2 >0$ ดังนั้น $\{v_n\}$ จึงเป็น (strictly) increasing sequence

โดยใช้ induction เราจะพบว่า $v_n>nv_0^2$ (เพราะ $ v_{n+1} = v_n^2+v_n > v_0^2+nv_0^2 = (n+1)v_0^2 $ )

ดังนั้น $$ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} v_n+1 = \infty $$ ตามต้องการ และเนื่องจาก $$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k} = \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{u_k-1} - \frac{1}{u_{k+1}-1} \right) = \frac{1}{u_0-1} - \frac{1}{u_{n+1}-1} $$ ดังนั้น $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_0-1} $$ ซึ่งก็คือลู่เข้านั่นเองครับ

(2) แทนค่า $u_0=2$ ลงไปในสูตรข้างบน จะได้ผลบวกคือ 1 ครับ

ถ้ามีวิธีพิสูจน์แบบอื่นๆ ช่วยบอกกันด้วยนะครับ