อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
ก็ถ้าเป็น $a^2=4$ ดูสิครับ แทนในสมการเดิมจะกลายเป็นว่า $b^2+c^2+d^2=0$
แต่ $b,c,d \in \mathbb{R}$ ก็แสดงว่า $b=c=d=0$ กรณีเดียว ซึ่งขัดกับที่ว่า $a,b,c,d>0$ ยังไงล่ะครับ 
ส่วนเรื่องของ Holder ที่ผมทำอาจจะเร่งรีบจนลัดไปหน่อย 
อสมการโฮลเดอร์ก็มีอยู่ว่า $$x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \le \left(\, x_1^p+x_2^p+...+x_n^p\right)^{1/p} \left(\, y_1^q+y_2^q+...+y_n^q\right)^{1/q}$$ เมื่อทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริงบวก และ $1/p+1/q=1$ ซึ่งก็เป็นทฤษฎีใหญ่ที่รวมเอาของ Cauchy-Schwarz เข้ามาด้วย
แถมสามารถเพิ่มเป็นกี่ตัวแปรก็ได้ ไม่จำเป็นต้องมีแค่ $x_i,y_i$ ถ้าเป็นสามตัวแปรก็คือ $$x_1y_1z_1+x_2y_2z_2+...+x_ny_nz_n \le \left(\, x_1^p+x_2^p+...+x_n^p\right)^{1/p} \left(\, y_1^q+y_2^q+...+y_n^q\right)^{1/q} \left(\, z_1^r+z_2^r+...+z_n^r\right)^{1/r}$$ เมื่อทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริงบวก และ $1/p+1/q+1/r=1$
ตัวที่ใช้บ่อยก็คือ $p=q=r=3$ และ $n=3$ หรือก็คือ $$x_1y_1z_1+x_2y_2z_2+x_3y_3z_3 \le \sqrt[3]{(x_1^3+x_2^3+x_3^3)(y_1^3+y_2^3+y_3^3)(z_1^3+z_2^3+z_3^3)}$$ และในตัวอย่างที่ผมให้ไปก็คือ $$x^2+y^2+z^2=x^{4/3}x^{1/3}x^{1/3}+y^{4/3}y^{1/3}y^{1/3}+z^{4/3}z^{1/3}z^{1/3} \le \sqrt[3]{(x^4+y^4+z^4)(x+y+z)(x+y+z)}$$ |
ขอบคุณมากครับ มีตัวอย่างโจทย์อสมการโฮลเดอร์ บ้างไหมครับ
ลองไปหาดูในเน็ตเจอแต่ยากๆอ่ะครับ เจอข้อนึงไม่รู้ถูกไหมนะครับตรวจให้ด้วย
$ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$
$ab^2+bc^2+ca^2=a \cdot b \cdot b+b\cdot c \cdot c+c\cdot a \cdot a$
$ \cdot b \cdot b+b\cdot c \cdot c+c\cdot a \cdot a \le \sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)^3}$
$ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$