แนวแทนค่าปกติ
1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ ทุกจำนวนจริง $x,y$
แนวอสมการมาปน
2.จงพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$
ที่ทำให้ $(f(x))^2 \geq f(x+y)(f(x)+y)$ ทุกจำนวนจริงบวก $x,y$
แนว NT มาปน
3.จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\,0\right\}$
ที่ทำให้ $f(1)+f(2)+...+f(n)=f(n)f(n+1)$ ทุก $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
(ไล่หา $n$ ออกมาเลย แล้วดู $n$ เป็นคู่คี่)
แนวใช้รากมาวิเคราะห์
1.หาพหุนามไม่คงตัว $P$ ทั้งหมดที่ทำให้ $P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)$
2.จงพิสูจน์ว่านอกจาก $P(x)=x^n$ เป็นคำตอบแล้ว ยังมี $P(x)=0$ ทุก $x$
เป็นคำตอบด้วย สมการพหุนามกำหนดโดย $P(x^2-y^2)=P(x-y)P(x+y)$
3.หาพหุนามบนจำนวนจริง $P$ ที่ทำให้ $P(x)P(x+1)=P(x^2)$ ทุกจำนวนจริง $x$
แนวสมการ NT
1.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ เป็น square
2.จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ $y^2=x^3+x$
3.จงพิสูจน์ว่าทุก prime $p$ สมการ $2^p+3^p=a^n$
ไมมีจำนวนเต็มบวก $a,n$ ที่ใหญ่กว่า 2 เป็นคำตอบ
4.หาผลเฉลยจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ $a^2+b^2=2^n$
|