[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

2. NT
แนวคิดต่อไปนี้ เอามาจาก shortlist TMO 8 ครับ

Soln

ให้ m,n เป็นจำนวนนับมากกว่า 1

สมมติ $ \ m \phi (m) = n\phi(n)$
ให้$ \ m = p_1^{i_1}p_2^{i_2}..p_r^{i_r} \ , \ n = q_1^{j_1}q_2^{j_2}..q_s^{j_s}$ เป็นการเขียน m และ n ใน รูปแบบบัญญัติ

$\because m \phi (m) = n\phi(n)$
$\therefore m^2(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_r}) = n^2(1-\dfrac{1}{q_1})(1-\dfrac{1}{q_2})...(1-\dfrac{1}{q_s})$

$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}...p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$

จากนั้นก็พิสูจน์ว่า $p_r = q_s, i_r = j_s$ แล้วก็ induction เอาครับ
ก็จะสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $m=n$

วิธีแบบ #16 ผมว่าไม่ออกนะครับ

Soln (ต่อ)

$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$

induction :
ให้ P(a) แทน $p_{r-a}=q_{s-a}, i_{r-a}=j_{s-a}$
ขั้นฐาน สมมติ $p_r > q_s$ จะได้
$p_r\nmid q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$
เกิดข้อขัดแย้ง
ในทำนองเดียวกัน จะได้ $p_r \not< q_s$ ดังนั้น $p_r = q_s$

ถ้า $i_r \not= j_s$ โดยไม่เสียนัยให้ $i_r > j_s$ จะได้
$p_r^{2i_r-1}\nmid q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$
เกิดข้อขัดแย้ง
$\therefore i_r = j_s, P(0)$ เป็นจริง

ขั้นอุปนัย สมมติ $P(k)$ เป็นจริง $\forall k \in \mathbb{N}, 0 \le k < a, r-a \ge 1, s-a \ge 1$
นั่นคือจาก $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$

แต่ $p_{r-a+1}^{2i_{r-a+1}+1}... p_r^{2i_r+1}(p_{r-a+1}-1)...(p_r-1) = q_{s-a+1}^{2j_{s-a+1}+1}...q_s^{2j_s+1}(q_{s-a+1}-1)(q_2-1)...(q_s-1)$

นำสองสมการหารกัน

$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_{r-a}^{2i_{r-a}+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_{r-a}-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_{s-a}^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_{s-a}-1)$

ซึ่ง $P(a)$ เป็นจริง โดย $P(0)$ เป็นจริง

ดังนั้น โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบเข้ม $P(a)$ เป็นจริง สำหรับทุก $a\in\mathbb{N}, r-a, s-a \ge 1$

สมมติ $r \not= s$ โดยไม่เสียนัยให้ $r>s$
$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$
$= p_{r-s+1}^{2j_{r-s+1}+1}...p_r^{2i_r+1}(p_{r-s+1}-1)...(p_s-1)$

$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_{r-s}^{2i_{r-s}+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_{r-s}-1) = 1$
เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น $r = s$
$p_1^{i_1}p_2^{i_2}..p_r^{i_r}= q_1^{j_1}q_2^{j_2}..q_s^{j_s}$
$m=n$