ให้ $k^6=n$ เพื่อให้ง่ายต่อการมอง
$$\sqrt[3]{n} - \sqrt{n}=k^2-k^3$$
$$=k^2(1-k)$$
$$=-k^2(k-1)$$
เห็นได้ชัดว่า ถ้า $n$ เข้าใกล้อนันต์ $k$ จะเข้าใกล้อนันต์ด้วย
นั่นคือ $k^2(k-1)$ เข้าใกล้อนันต์ หรือ $-k^2(k-1)$ เข้าใกล้ลบอนันต์
ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n} - \sqrt{n}$ คือ $-\infty$
$$n(\sqrt{n^2+2}-n)$$
$$=n(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n})$$
$$=\frac{2}{\sqrt{\frac{n^2+2}{n^2}}+1}$$
$$=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1}$$
$$\lim_{n \to \infty}n(\sqrt{n^2+2}-n)=1$$
ปล. ผู้รู้ช่วยเช็คด้วยนะครับ
