อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ C9H20N
24. ถ้า $0<x<2 \pi$ และ $4sin^{2}x+(1-\sqrt{3})sinxcosx+(-3-\sqrt{3})cos^{2}x$
$=-3$ จงหาผลบวกของสมการนี้(ตอบเป็นองศา)
|
ข้อนี้ตัวเลขผิดหรือเปล่าครับ เพราะถ้าโจทย์เป็นอย่างนี้จริงๆ คำตอบที่ได้คือ $5\pi-2\arcsin\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right) \approx 12.73$ เรเดียน แปลงเป็นองศาได้ $729.54^{\circ}$ ลองใช้โปรแกรมคำนวณคำตอบโดยประมาณแล้วก็ตรงกัน เลยมั่นใจว่าคำตอบถูกต้องแล้ว โจทย์น่าทำแต่ตัวเลขมันไม่น่าทำเอาเลยครับ
ส่วนแนวคิดข้อนี้คือแปลงเป็น $\sin 2x ,\cos 2x $ จากนั้นก็ normalize สัมประสิทธ์ จะได้รวมร่างเป็น $\sin(2x+\theta)$ ซึ่งในที่นี้ $\theta$ ก็คือ arcsin เละๆที่เห็นข้างบน จากนั้นก็แก้สมการ รวมคำตอบแล้วจะดัดกันเหลือแค่พวก $\pi$ กับ arcsin
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
คือการยุบ $A\cos t+B\sin t$ ให้เหลือแค่ $\sin( t+\theta)$ สำหรับบาง $\theta$ ทำได้โดยการหารตลอดด้วย $\sqrt{A^2+B^2}$ ได้เป็น
$$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos t +\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin t$$
ซึ่งเราสามารถหามุม $\theta$ ที่ทำให้ $\sin\theta=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ และ $\cos\theta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ได้เสมอ และยุบรวมพจน์ข้างต้นเป็น
$$\sin\theta\cos t + \cos\theta\sin t = \sin( t+\theta)$$
วิธีการหานิยามของ $\theta$ นั้น มองง่ายๆว่าเป็น arcsin หรือ arccos ที่ได้จากความสัมพันธ์ข้างต้น แต่ต้องสังเกตความเป็นบวกลบของ $A,B$ ก่อน เพื่อให้กำหนดถูกว่ามุม $\theta$ ต้องอยู่ในช่วงไหนของ $(-\pi,\pi]$ (หรือ $[0,2\pi)$ แล้วแต่สะดวก) จากนั้นจึงเลือกหน้าตาของ $\theta$ จาก arcsin หรือ arccos โดยคำนึงว่าเรนจ์ของ arcsin คือ $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ และเรนจ์ของ arccos คือ $[0,\pi]$
ตัวอย่าง เลือกช่วงคำตอบเป็นช่วง $\theta\in (-\pi,\pi]$ ถ้าหากว่า $A<0$ และ $B<0$ นั่นคือ $\sin\theta<0$ และ $\cos\theta<0$ ได้ว่า $\theta$ ต้องอยู่ในควอดรันท์ที่สาม $-\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}$ ซึ่งเราจะบอกว่า
$\theta=\arcsin\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\quad$ หรือ $\quad\theta=\arccos\left(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$
เฉยๆไม่ได้ เพราะเรนจ์ของสองฟังก์ชันนี้ไปไม่ถึงควอดแรนท์ที่สาม คำตอบจึงต้องเป็น
$\theta=-\arcsin\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)-\pi\quad$ หรือ $\quad\theta=-\arccos\left(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
เริ่มจากแปลงทุกอย่างให้อยู่ในรูป $\sin 2x ,\cos 2x $ โดยใช้ความสัมพันธ์มุมสองเท่า สุดท้ายจะได้สมการหน้าตาประมาณนี้ครับ
$$\left(\frac{7+\sqrt{3}}{2}\right) \cos 2x + \left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)\sin 2x = \frac{7-\sqrt{3}}{2}$$
ให้ $A=\frac{7+\sqrt{3}}{2}$ และ $B=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ แล้วทำการ normalize สมการโดยการหารตลอดด้วย $\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{14+3\sqrt{3}}=\frac{1+3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ได้เป็น
$$\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)\cos 2x +\left(\frac{5-2\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)\sin 2x = \frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$$
ในที่นี้ สังเกตว่า $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ เพราะว่าทั้ง $\sin \theta >0$ และ $\cos \theta >0$ เลยนิยามตรงๆได้เลยว่า $\theta=\arcsin\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$ และยุบรวมเป็น
$$\sin(2x+\theta)=\frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$$
สังเกตว่าฝั่งขวาของสมการเป็นบวก กำหนดให้ $\alpha=\arcsin\left(\frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$ และได้ว่า $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ เช่นกัน สมการเดิมจึงกลายเป็น
$$\sin(2x+\theta)=\sin\alpha$$
นอกจากนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\theta>\alpha$ โดยการแสดงว่า $\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}} > \frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$ และใช้ความเป็นฟังก์ชันเพิ่มของ arcsin แปะลงไป ก็จะได้ $\theta>\alpha$ ตามต้องการ
จากเงื่อนไขที่ $0<x<2\pi$ ได้ว่า $\theta<2x+\theta<4\pi+\theta$ ร่วมกับข้อมูลว่า $0<\alpha<\theta<\frac{\pi}{2}$ ทำให้ได้เพียง 4 คำตอบคือ
$$2x+\theta = \alpha+2\pi, \alpha+4\pi, \pi-\alpha, 3\pi-\alpha$$
รวมทุกคำตอบ(สมการ)ออกมาเป็น
$$2\sum x_i + 4\theta = 10\pi$$
จัดรูปหา $\sum x_i$ ได้ว่า
$$\sum x_i = 5\pi-2\theta=5\pi-2\arcsin\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$$
ตามต้องการ