[Timestopper_STG]

ปัญหาข้อนี้ผมเคยคุยกับคุณ passer-by ผ่านทาง pm จึงขอนำบางส่วนมาให้ดู
ให้ $\displaystyle{f(x)=x^{x^{.^{.^{.}}}}},\forall x\in\mathbb{R}^{+}$ จะหา Domain
$$f(x)=y=x^{y}\rightarrow y'=\frac{f^{2}(x)}{x\left(1-\ln f(x)\right)}$$
ได้จุดวิกฤตเมื่อ $x=0,f(x)=0,e$ แต่ $x,f(x)=0$ ไม่ได้
ดังนั้นจาก $f(1)=1$ ทำให้ได้ว่า $f(x)=e$ เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันเกิดเมื่อ $\displaystyle{x=e^{\frac{1}{e}}}$
และจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างแท้จริงบนช่วง $[1,\infty)$ ทำให้ได้ $\displaystyle{D_{f}\subseteq\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$
$$y=x^{y}\rightarrow\ln x=\frac{\ln y}{y}$$
ต่อไปพิจารณา $\displaystyle{g(x)=\frac{\ln x}{x},\forall x\in\mathbb{R}^{+}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{R_{g}=\left(-\infty,\frac{1}{e}\right]}$
สรุปว่า $\displaystyle{\forall x\in\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]\exists y\in\mathbb{R}^{+},\ln x=\frac{\ln y}{y}}$ หรือ $\displaystyle{D_{f}=\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$