พิมพ์ผิดตรงไหนช่วยทักท้วงให้ด้วยนะครับ
เนื้อหาที่เรียน : Pompeiu Theorem, Pompeiu Triangle, Stewart Theorem, Leibniz Formula for Triangle, Orthic Triangle
เวลาสอบ : 2 ชั่วโมง
Pompeiu Theorem : ให้ $M$ เป็นจุดใดๆ และ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีความยาวเป็น $MA, MB, MC$
เราเรียกสามเหลี่ยมที่สร้างได้ว่า Pompeiu Triangle
Orthic Triangle : คือสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจุดปลายส่วนสูง
1. ให้ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและ $M$ เป็นจุดภายใน $\Delta ABC$
1.1 จงพิสูจน์ว่ามุมภายใน Pompeiu Triangle มีค่าเท่ากับ $A\hat MB-60^{\circ},\ A\hat MC-60^{\circ},\ B\hat MC-60^{\circ}$ (8 คะแนน)
1.2 จงพิสูจน์ว่าพื้นที่ของ Pompeiu Triangle มีค่าเท่ากับ $\dfrac{1}{3}พื้นที่\ \Delta ABC-\dfrac{\sqrt{3}}{4}OM^2$ เมื่อ $O$ เป็น circumcenter ของ $\Delta ABC$ (12 คะแนน)
2.1 จงพิสูจน์ว่าจุด orthocenter ของ $\Delta ABC$ จะเป็น incenter ของ orthic triangle ของ $\Delta ABC$
(12 คะแนน)
2.2 จงพิสูจน์ว่า $A,B,C$ เป็น excenter ของ orthic triangle ของ $\Delta ABC$
(8 คะแนน)
3. ให้ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และ $X,Y,Z$ เป็นจุดบน $BC,CA,AB$
จงพิสูจน์ว่า $XY^2+YZ^2+ZX^2$ สั้นสุดเมื่อ $X,Y,Z$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC,CA,AB$
(10 คะแนน)
เนื้อหาที่เรียน : Pigeon Hole Problems, Advanced Binomial Coefficient Series, Double Counting, Coloring
เวลาสอบ : 3 ชั่วโมง
1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก 12 ตัวของ $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,\ ,..,\ 2\cdot a_{10}\}$ แล้วได้เซตซ้ำที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $8$ ชนิด (10 คะแนน)
2. ในการปูกระเบื้องขนาด $1\times 1,\ 2\times 2,\ 3\times 3$ ลงบนพื้นขนาด $35\times 35$ โดยที่เราไม่สามารถแบ่งกระเบื้องออกเป็นส่วนๆ ได้ จะต้องใช้กระเบื้อง $1\times 1$ อย่างน้อยกี่อัน (10 คะแนน)
3. จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n+2016}{2}\right\rfloor}(-1)^{k}\binom{n+2016}{k}\binom{2n-2k+2014}{n+2015}=\binom{n+2016}{2017}$$ (15 คะแนน)
4. กำหนดให้ $sK_n$ คือกราฟที่มีจุดยอด $n$ จุด และมีเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ $s$ เส้น
ให้ $G, H$ เป็นกราฟสองกราฟใดๆ นิยามกราฟ $G\vee_t H$ คือการยูเนียนกันของ $G,H$ และเพิ่มเส้นเชื่อมเข้าาไประหว่างจุดหนึ่งใน $G$ กับอีกจุดหนึงใน $H$ $t$ เส้น
ให้ $G,H$ เป็นกราฟสองกราฟใดๆ จะได้ว่า $G\mid H$ ก็ต่อเมื่อเราสามารถแบ่ง $H$ เป็นกราฟหลายๆกราฟ ที่ทุกๆ กราฟที่ถูกแบ่งจะสมสัณฐานกับ $G$
จงแสดงว่าถ้า $K_3\mid sK_m\vee_t sK_n$ แล้ว
(i) $2\mid s(m-1)+tn$ และ $6\mid sm(m-1)+sn(n-1)+2tmn$ (5 คะแนน)
(ii) $\dfrac{t}{s}\leq \dfrac{m^2-m+n^2-n}{mn}$ (10 คะแนน)
เนื้อหาที่เรียน : Review Problems
เวลาสอบ : 2 ชั่วโมง
1. จงหาจำนวนจริง $a,b$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^4-3ax^3+ax+b$ หารด้วย $x^2-1$ แล้วเหลือเศษ $(a^2+1)x+3b^2$ (10 คะแนน)
2. จงเขียน $S$ แบบแจกแจงสมาชิกเมื่อ $S=\left\{\left\lfloor\dfrac{x-n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{-(x+1)}{n}\right\rfloor\mid x\in\mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}\right\}$ (15 คะแนน)
3. จงหาพหุนาม $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ ทั้งหมดที่ทำให้ $P(x^2)+x(3P(x)+P(-x))=P(x)^2+2x^2$ (25 คะแนน)
เนื้อหาที่เรียน : TMO Problems
เวลาสอบ : 2.5 ชั่วโมง
1. ให้ $a,b,c>0$ และ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ จงพิสูจน์ว่า $a+b+c\geq abc+2$ (12.5 คะแนน)
2. ให้ $|a|, |b|, |c|, |d| >1$ และ $abc+bcd+cda+dab+a+b+c+d=0$
จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{b-1}+\dfrac{1}{c-1}+\dfrac{1}{d-1} >0$ (12.5 คะแนน)
3. จงหาฟังก์ชัน 1-1 $f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$f(x+f(y))=g(x)+h(y)$
$g(x+g(y))=h(x)+f(y)$
$h(x+h(y))=f(x)+g(y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน)
4. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน)
เนื้อหาที่เรียน : Multiplicative Function, $\tau$, $\sigma$, $\phi$, $\mu$ Functions and Its properties. (สามารถอ่านได้จากหนังสือ สอวน)
เวลาสอบ : 2.5 ชั่วโมง
ข้อละ 10 คะแนน
1.จงพิสูจน์ว่าถ้า $f,g$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณแล้ว $\displaystyle{\sum_{d|n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)}$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณ
2.1 จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{d\mid n}\dfrac{1}{d}=\dfrac{\sigma(n)}{n}}$
2.2 จงพิสูจน์ว่าถ้า $m,n\in\mathbb{N}$ และ $(m,n)>1$ แล้ว $\sigma(mn)<\sigma(m)\sigma(n)$
3. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{d\mid n}\phi(d)=n}$
4.1 จงพิสูจน์ว่า $2\mid\phi(n)$ เมื่อ $n>2$
4.2 จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{k<n,(k,n)=1}k=\dfrac{n\phi(n)}{2}}$
5. ให้ $f(n)$ คือจำนวนเต็มบวก $k$ ที่น้อยที่สุดทีทำให้ $\tau(k)=n$ จงพิสูจน์ว่า $f(2^n)\mid f(2^{n+1})$