[Pitchayut]

มาทยอยลง Solution (แบบปกติ)

Solution 1.

(ก) ให้ $I$ เป็น incenter ของ $\Delta ABC$ เห็นได้ชัดว่า $P\in BI, Q\in CI$ และ
$$IP\cdot IB = ID^2 = IQ\cdot IC\implies BCPQ\textrm{ concyclic}$$
ตามต้องการ

(ข) จาก $BP\perp DF$ และ $CQ\perp DE$ จะได้ว่า
$$\angle SPR = \angle BPC - 90^{\circ} = \angle BQC - 90^{\circ} = \angle SQR \implies PQRS\textrm{ concyclic}$$
ตามต้องการ

Solution 2

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x+f(y)) = f(x)+y^2$

$P(0,0)\implies f(f(0)) = f(0)$ ทำให้ $P(0,f(0))\implies f(0)=0$

$P(0,y)\implies f(f(y)) = y^2$ เพราะฉะนั้น $f(y^2) = f(y)^2$

$P(x,f(y))\implies f(x+y^2) = f(x) + f(y^2)$ เมื่อแทน $x$ ด้วย $-y^2$ จะพบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จึงสรุปได้ว่า $f(x+y) = f(x)+f(y)$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

แต่ $f(y^2) \geqslant 0$ เพราะฉะนั้น $f(x) = cx$ สำหรับบางค่าคงที่ $c$ ซึ่งขัดแย้ง

Solution 3

สังเกตว่า flash drive ที่บ่าวแต่ละคนได้ จะสอดคล้องกับการกระจายเลขฐานสองของผลบวกความจุที่ตัวเองได้รับ

เพราะฉะนั้น สมมติให้มีสองคน $P_1, P_2$ ที่ผลบวกความจุเท่ากัน จะพบว่า ทั้งสองคนต้องได้ flash drive เป็นเซตเดียวกัน เราดูขนาดความจุอันหนึ่ง ซึ่งทั้งสองคนมีเหมือนกัน ให้ $P_3$ เป็นอีกคนที่ถือ flash drive ขนาดเท่านี้

สังเกตว่า จะต้องมี flash drive แบบนึงที่ $P_1, P_2, P_3$ ไม่มี (เพราะใช้ไปแค่ $5$ แบบ) ดังนั้น เงื่อนไขแรกของโจทย์จึงต้องเป็นจริงตามต้องการ

Solution 4

สังเกตว่าเปลี่ยน $(a,b,c)$ เป็น $(-a,-b,-c)$ ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ เพราะฉะนั้น WLOG $a,b>0$ แต่ $c<0$

จากเงื่อนไข $a+b+c=0$ จะได้ $a^2+ab+b^2 = b^2+bc+c^2 = c^2+ca+a^2$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} &= \frac{(ab(a+b))^2}{(a^2+ab+b^2)^3} \\
&\leqslant \frac{(ab(a+b))^2}{\left(\frac{3}{4}(a+b)^2\right)^3} \\
&\leqslant \frac{\frac{(a+b)^6}{16}}{\frac{27}{64}(a+b)^6} \\
&= \frac{4}{27}
\end{align*}$$
Equality Case เกิดเมื่อ $(a,b,c) = (1,1,-2)$ ทำให้คำตอบคือ $\boxed{\frac{4}{27}}$

Solution 5

จะแสดงว่า $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ เห็นได้ชัดว่า $5\mid a^5+b^5\implies 5\mid a+b$ ต่อไปจัดรูป
$$\begin{align*}
a^5+b^5 &= (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \\
&= (a+b)((a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3) + 5a^4)
\end{align*}$$
สังเกตว่า $b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3\equiv 10b^3\equiv 0\pmod 5$ ดังนั้น $25\mid (a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3)$ แต่ $25\nmid 5a^4$ ดังนั้น $a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ หารด้วย $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $25$ ไม่ลงตัวเสมอ

เพราะฉะนั้น $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ ตามต้องการ นั่นคือคำตอบคือ $\boxed{625}$