[sompong2479]

1. เริ่มจาก $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$ เปลี่ยนตัวแปร $u=x-\pi/4$ จะได้
$$
\int_0^{\pi/2}\frac{x-\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}
\frac{u}{1+\sqrt{2}\cos u}du=0
$$
เพราะอินทิเกรนด์เป็นฟังก์ชันคี่บนช่วง $[-\pi/4,\pi/4]$ พิจารณา
$$
\int_0^{\pi/2}\frac{\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}\int_0^1\frac{dv}{1+v}
=\frac{\pi\ln2}{4}
$$
โดย $v=\tan(x/2)$