[suthee]

จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง
$$((2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$
นั่นคือ
$$(2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n} = A$$
จะได้ว่า A เป็นจำนวนคี่
ให้ m = k₁+k₂+...+k_n
จะได้ว่า A ณ 3^m
เมื่อพิจารณาค่าของ (2k₁+1)(2k₂+1)...(2k_n+1) = B จะได้ว่า B มีค่ามากที่สุดเมื่อ
k₁ = k₂ = ... = k_n = 1
ดังนั้น B ฃ 3 ^m ฃ A
แต่เงื่อนไขของโจทย์คือ A = B
ดังนั้น 3^k = 2k+1 ซึ่งมีคำตอบเดียวที่เป็นจำนวนนับคือ 1
ดังนั้น A = B = 3 และ A² = 9
จึงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นคือ 3² = 9