[Pitchayut]

ข้อ 2.
ให้ $g(n)=n^2$ จะได้จุดตรึงของ $g(x)$ คือ $0,1$
ให้ $f(0)=p$ จะได้ว่า $f(f(0))=f(p)=0$ ทำให้ $f(p)=0$
จะได้ว่า $g(p)=f(f(p))=f(0)=a$ ดังนั้น $a=0\textrm{ หรือ } 1$
นั่นคือ $f(0)=0 \textrm{ หรือ } f(1)=0$
ให้ $h(n)=g(g(n))=n^4$
จุดตรึงของ $h(n)$ สามารถหาได้จากสมการ $n^4-n=0$
ซึ่งมี 4 คำตอบคือ $0, 1, \omega, \omega^2$($\omega$ คือรากปฐมฐานที่ 3 ของ 1)
ให้ $c=\omega, d=\omega^2, g(c)=q$
จะได้ว่า $g(q)=g(g(c))=h(c)=c$ ทำให้ $h(q)=g(g(q))=g(c)=q$
หมายความว่า $q$ เป็นจุดตรึงของ $h(n)$ แต่ว่า $q$ ไม่ใช่จุดตรึงของ $g(n)$ ดังนั้น $q$ ต้องเท่ากับ $d$
ดังนั้น $g(c)=d, g(d)=c$
ให้ $f(c)=r, f(d)=s$
จะได้ว่า $f(r)=f(f(c))=d$ และ $f(s)=f(f(d))=c$
ทำให้ $h(r)=f(f(f(f(r))))=f(f(f(d)))=f(f(s))=f(c)=r$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $h(s)=s$
หมายความว่า $r, s$ เป็นจุดตรึงของ $h(n)$
แต่ว่า $g(r)=f(f(r))=f(d)=s$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $g(s)=r$
แสดงว่า $r, s$ ไม่เป็นจุดตรึงของ $g(n)$ จะได้ว่า $r$ ต้องเท่ากับ $c$ หรือ $d$
แต่ทีนี้ ถ้า $r=c$ จะได้ว่า $g(r)=f(f(r))=f(f(c))=f(c)=r$ ดังนั้น r เป็นจุดตรึงของ $g(n)$
ดังนั้น $r\neq c$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $r \neq d$
ดังนั้น ไม่มีฟังก์ชัน $f(n)$ อยู่จริง