ขอขัดจังหวะนิดนึงนะครับ จริงๆ แล้วฟังก์ชั่นของข้อ 2 มีอยู่จริงและสามารถสร้างได้ดังนี้ครับ
1.$f(1)=1$
2.$f(mn)=f(m)f(n),\forall m,n\in\mathbb{N}$
3.$f(p_{2k-1})=p_{2k}\forall k\in\mathbb{N}$ โดย $p_k$ คือจำนวนเฉพาะตัวที่ $k$
4.$f(p_{2k})=p_{2k-1}^2\forall k\in\mathbb{N}$
1.$n$เป็นจำนวนเฉพาะ เราให้ $n=p_i$ เราจะได้ว่า
ถ้าหาก $i$ เป็นเลขคี่ เราจะได้ว่า $f(f(n))=f(f(p_i))=f(p_{i+1})=p_i^2$
ถ้าหาก $i$ เป็นเลขคู่ เราจะได้ว่า $f(f(n))=f(f(p_i))=f(p_{i-1}^2)=f(p_{i-1})^2=p_i^2$
แสดงว่า $f(f(p))=p^2$ สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$
2.n เป็นจำนวนประกอบ
เราให้ $n=q_1^{a_1}q_2^{a_2}...q_k^{a_k}$ เป็นการเขียน $n$ ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ เราจะได้ว่า
$f(f(n))=f(f(q_1^{a_1}q_2^{a_2}...q_k^{a_k}))=f(f(q_1)^{a_1}f(q_2)^{a_2}...f(q_k)^{a_k})=f(f(q_1))^{a_1}f(f(q_2))^{a_2}...f(f(q_ k))^{a_k}=q_1^{2a_1}q_2^{2a_2}...q_k^{2a_k}=n^2$
ดังนั้น $f(f(n))=n^2;\forall n\in\mathbb{N}$ จริง