อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
ข้อ 2.
ให้ $g(n)=n^2$ จะได้จุดตรึงของ $g(x)$ คือ $0,1$
ให้ $f(0)=p$ จะได้ว่า $f(f(0))=f(p)=0$ ทำให้ $f(p)=0$
จะได้ว่า $g(p)=f(f(p))=f(0)=a$ ดังนั้น $a=0\textrm{ หรือ } 1$
นั่นคือ $f(0)=0 \textrm{ หรือ } f(1)=0$
ให้ $h(n)=g(g(n))=n^4$
จุดตรึงของ $h(n)$ สามารถหาได้จากสมการ $n^4-n=0$
ซึ่งมี 4 คำตอบคือ $0, 1, \omega, \omega^2$($\omega$ คือรากปฐมฐานที่ 3 ของ 1)
ให้ $c=\omega, d=\omega^2, g(c)=q$
จะได้ว่า $g(q)=g(g(c))=h(c)=c$ ทำให้ $h(q)=g(g(q))=g(c)=q$
หมายความว่า $q$ เป็นจุดตรึงของ $h(n)$ แต่ว่า $q$ ไม่ใช่จุดตรึงของ $g(n)$ ดังนั้น $q$ ต้องเท่ากับ $d$
ดังนั้น $g(c)=d, g(d)=c$
ให้ $f(c)=r, f(d)=s$
จะได้ว่า $f(r)=f(f(c))=d$ และ $f(s)=f(f(d))=c$
ทำให้ $h(r)=f(f(f(f(r))))=f(f(f(d)))=f(f(s))=f(c)=r$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $h(s)=s$
หมายความว่า $r, s$ เป็นจุดตรึงของ $h(n)$
แต่ว่า $g(r)=f(f(r))=f(d)=s$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $g(s)=r$
แสดงว่า $r, s$ ไม่เป็นจุดตรึงของ $g(n)$ จะได้ว่า $r$ ต้องเท่ากับ $c$ หรือ $d$
แต่ทีนี้ ถ้า $r=c$ จะได้ว่า $g(r)=f(f(r))=f(f(c))=f(c)=r$ ดังนั้น r เป็นจุดตรึงของ $g(n)$
ดังนั้น $r\neq c$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $r \neq d$
ดังนั้น ไม่มีฟังก์ชัน $f(n)$ อยู่จริง
|
แว๊บแรกที่ผมเห็นข้อนี้ผมก็นึกถึงวิธีนี้นี่แหละ
คือสมมติว่ามี $g$ ที่ทำให้ $fof=g$ แล้วใช้สมบัติ fix point ของ $g$ โยงหา $f$
ซึ่งมันใช้ไม่ได้กับข้อนี้นะครับ ตรงที่ว่าตัว fix point ที่แก้ออกมาได้จากสมการ $g(g(x))=x$ ไม่ได้อยู่ในโดเมนของ $\mathbb{N}$
ต่อให้แก้โจทย์เป็น $f$ นิยามบน $\mathbb{R}$ วิธีอ้างว่า $g(g(x))=x$ มี 4 จุดตรึงก็เป็นการอ้างนอกโดเมนอยู่ดี
สังเกตสมการที่ได้มาสิ มันคือ $x^4-x=0$ มีรากจริงแค่ 2 ตัวเท่านั้นนะ
จะใช้วิธีแบบนี้ได้ อาจจะต้องแก้ให้โจทย์เป็น $\mathbb{R}$ แล้วเชคว่า $gog$ มี 4 fix point บนโดเมนจริงๆหรือเปล่า
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ โดย $f(f(x))=x^2-2$ แบบนี้ หรือสมการกำลังสองรูปแบบอื่นที่เชครากเหนือโดเมนง่ายๆ
-----------------------------------------------------------------------------------
ผมไม่ยักรู้ว่าน้อง image ตัวจริงจะเก่งเลขขนาดนี้
โจทย์ construction ในทุกๆรูปแบบเด็กส่วนใหญ่ไม่คุ้นเคยครับ
ยิ่งถาม exist ไม่ exist ด้วยแล้ว โอกาสทำได้ยิ่งน้อยลงด้วยครับ
ถ้าอยากให้กระทู้ไปต่อได้โจทย์ต้องดึงดูดให้คนทำ เดี๋ยวมันจะเงียบไปเปล่าๆ
แต่ข้อนี้ผมชอบนะครับ โจทย์สวยดีครับ
