อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555
4. ข้อนี้กะให้ไม่ยากครับ
ให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สอดคล้องกับ $4f(f(x))=3(f(x)+1)$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{N}$
จงหาฟังก์ชัน $f$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
|
ให้ $x\in\mathbb{N}$ และนิยาม $a_n=f^n(x)$ เมื่อ $f^n$ เป็นผลประกอบของ $f$ จำนวน $n-1$ ครั้ง
จากสมการจะได้ $4a_{n+1}=3(a_{n}+1)$ ทุกค่า $n\in\mathbb{N}$
แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดออกมาจะได้ $a_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}(a_1-3)+3$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สังเกตว่า $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}(a_1-3)=a_n-3$ เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งหมายความว่า $4^n\mid (a_1-3)$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
จึงได้ว่า $a_1-3=0$ นั่นคือ $f(x)=3$ ทุกค่า $x\in\mathbb{N}$
ตรวจสอบคำตอบพบว่าสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน