อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
5. (PSU 2015) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน
$$
f(f(x)-f(y))=x-y
$$
สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{Q}$
|
แทน $x=y$ ได้ $f(0)=0$
แทน $f(x)=f(y)$ ได้ $x=y$ นั่นคือ $f$ เป็น $1-1$
แทน $y=0$ ได้ $f(f(x))=x$
ดังนั้น $f(x)=f^{-1}(x)$
เพราะว่ากราฟของ $y=f^{-1}(x)$ เกิดจากการสะท้อนกราฟ $y=f(x)$ โดยมีเส้นสะท้อนเป็นเส้น $y=x$
ดังนั้น จะได้ว่ากราฟทั้งสองจะตัดกันที่จุด $(k, k)$ สำหรับจำนวนจริง $k$ บางค่าเท่านั้น
นั่นคือ $f(x)=x$ ทุกค่า $x$ ซึ่งตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่แท้จริง