มาเพิ่มวิธีทำให้
เราจะพิสูจน์ว่า ถ้า $p$ และ $2p+1$ เป็นจำนวนเฉพาะและ $p\equiv 3 \pmod 4$ จะได้ว่า $2p+1\mid 2^p-1$
โดยใช้ Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $2^{2p}\equiv 1 \pmod {2p+1}$
นั่นคือ $2p+1\mid 2^{2p}-1 \Rightarrow 2p+1\mid (2^p-1)(2^p+1)$
ทำให้ $2p+1\mid 2^p-1$ หรือ $2p+1 \mid 2^p+1$ เราจะแสดงว่าทางที่สองไม่เป็นจริง โดยการสมมุติให้
$2p+1\mid 2^p+1 \Rightarrow 2^p \equiv -1 \pmod{2p+1}\Rightarrow \left(2^{\frac{p+1}{2}}\right)^2\equiv -2 \pmod{2p+1}$
เนื่องจาก $-2$ จะเป็น quadratic residue modulo $p$ ก็ต่อเมื่อ $p\equiv 1, 3 \pmod 8$
แต่ว่า $2p+1\equiv 7 \pmod 8$ จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น นั่นคือ $2p+1\mid 2^p-1$
และเมื่อแทน $p=23$ ก็จะได้ว่า $47\mid 2^23-1$ นั่นคือ $2^23-1$ เป็นจำนวนประกอบ
|