determinant ไม่ได้กำหนดจากวิธีคูณทแยงมุมครับ
รู้สึกว่าวิธีหา determinant จะกำหนดจากสมบัติบางประการที่เราต้องการจาก determinant เช่น
$\det(AB) = \det(A) \det(B)$
$\det(rA) = r^n \det(A)$
$\det(A^T) = \det(A)$
จากนั้นก็ไปค้นหาฟังก์ชันที่มีสมบัติตามที่ต้องการข้างต้น จนกระทั่งได้มาเป็นสูตรง่ายๆสำหรับเมตริกซ์ขนาด 2x2 , 3x3 และบังเอิญมันจัดรูปแล้วตรงกับวิธีคูณทแยงมุมได้ เท่านั้นเอง
หากลองอ่านประวัติศาสตร์ของ
Determinant ในส่วนของ History จะบอกไว้เลยว่า Determinant เกิดมาก่อนเมตริกซ์ซะอีก ส่วนที่ตั้งชื่อว่า Determinant ก็เพราะมันเป็นตัวที่ใช้บอกได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นนั้น มีคำตอบหนึ่งเดียวหรือไม่ ผมเองก็ยังไม่เคยอ่านลึกลงไปสักที เฉพาะในส่วนของขั้นตอนการหาฟังก์ชัน Determinant (ในหนังสือพวก Linear Algebra) ให้ออกมาเป็นสูตรทั่วไปดังที่ได้เรียนมานั้น ก็เห็นแล้วเวียนหัวเหลือเกิน จนต้องปล่อยวางมันไว้ที่เดิม
