อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~
Inequality
1. จงหาค่า $K$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
$$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\leqslant K(a^2+b^2+c^2)^2 $$
สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ ใดๆ
|
ได้แล้ว !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (แต่พึ่งคอมนิดหน่อย(ไม่นิดเลยครับ 555 ))
คือผมว่าโจทย์ข้อนี้คือต้องการให้เราทำให้ที่เขาให้มาเป็น จริงบวกก่อนแล้วใช้ AM-GM ครับ
เพราะตอนนี้ที่เรามีเลยและใช้ได้คือ Cauchy เท่านั้นแต่ก็ไปได้ไม่ไกล
เราต้องพิสูจน์ว่า
$$[(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]^2 \leq K^2(a^2+b^2+c^2)^4$$
ให้ $x=a-b,y=b-c,z=a+b+c$ เราจะได้ $c-a=x+y,a^2+b^2+c^2= \dfrac{1}{3}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)$
และเราจะได้ว่า
$$\left(\,xyz(x+y)\right) ^2 \leq \dfrac{K^2}{81}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)^4= \dfrac{K^2}{81}(z^2+2(x^2+y^2+xy))^4$$จากตรงนี้เราสามารถใช้ AM-GM ได้แล้วเพราะว่า $x^2,y^2,z^2 $ เป็นบวกแล้ว จากนั้นเราคิดแค่พจน์ $x,y$ ก่อนเพราะ $z$ เดี๋ยวค่อย Weight เอาก็ได้ (ตรงนี้คือที่มาได้ในห้องสอบ) และผมก็ลองใช้ Wolfram พิสูจน์ดูว่า
$$\left(\,\dfrac{xy(x+y)}{2}\right) ^2 \leq \left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 $$
จริงหรือไม่ (ลองไปกดดูละกันครับ) และได้ว่าจริง
$$x^2y^2(x+y)^2 \leq 4\left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 \cdot z^2 = \dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 $$
โดย Weight AM-GM จะได้ว่า
$$\dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 \leq \dfrac{1}{162}\left(\,\dfrac{3x^2+3y^2+3(x+y)^2+3z^2}{4}\right)^4= \dfrac{1}{512}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2) $$
จับไปเท่ากันจะได้ $K= \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$