[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

14. ยังไม่ค่อยมั่นใจครับว่าถูกหรือเปล่า

จาก $f(x^2 + xf(y)) = xf(x+y)$___________________________________$(1)$

แทน $x=0$ ใน $(1)$ ได้ $f(0)=0$

แทน $y=0$ ใน $(1)$ได้ $f(x^2)=xf(x)$_________________________________$(2)$

ต่อไปจะพิสูจน์ว่ามี $a$ เพียงค่าเดียวคือ $0$ ที่ทำให้ $f(a)=0$ โดยการสมมุติว่ามีค่า $a$ ดังกล่าวที่ไม่เท่ากับ $0$

แทน $y=a$ ได้ $f(x^2)=xf(x+a)$ เมื่อใช้ร่วมกับ $(2)$ จะได้ว่า $f(x)=f(x+a)$ ซึ่งขัดแย้งกับความไม่เป็นฟังก์ชันคาบของ $f$

แทน $(x, y)=(-f(y), y)$ ใน $(1)$ จะได้ $f(y)f(y-f(y))=0$

ดังนั้น $f(y)=0$ หรือ $f(y-f(y))=0$

แต่ถ้า $f(y)=0$ เราจะได้ฟังก์ชันศูนย์เป็นคำตอบ ดังนั้นต่อไปจะพิจารณา $f(y-f(y))=0$

เนื่องจาก $f(a)=0$ ก็ต่อเมื่อ $a=0$ ดังนั้น $y-f(y)=0$ ทำให้ได้ฟังก์ชันเอกลักษณ์เป็นคำตอบ

นั่นคือมี $f$ สองฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นคือ $f(x)=0$ และ $f(x)=x$

f(x)=0 เป็นฟังก์ชันคาบครับ