[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

แทน $(x, y)=(-f(y), y)$ ใน $(1)$ จะได้ $f(y)f(y-f(y))=0$

ดังนั้น $f(y)=0$ หรือ $f(y-f(y))=0$

แต่ถ้า $f(y)=0$ มันจะขัดแย้งกับความไม่เป็นฟังก์ชันคาบของ $f$ ดังนั้นต่อไปจะพิจารณา $f(y-f(y))=0$

เนื่องจาก $f(a)=0$ ก็ต่อเมื่อ $a=0$ ดังนั้น $y-f(y)=0$ ทำให้ได้ฟังก์ชันเอกลักษณ์เป็นคำตอบ

นั่นคือมี $f$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นคือ $f(x)=x$

ผมว่าตรงนี้แปลกๆเพราะเหมือนจะบอกว่า $f(y)=0 \ \forall y \in \mathbb{R} $ หรือ $f(y-f(y))=0 \ \forall y \in \mathbb{R} $ ซึ่งไม่จำเป็น เพราะเราอาจสร้างฟังก์ชันดังนี้

$f(0)=f(1)=0$ และ $f(x)=x \ \forall x\not= 0,1$

ซึ่งสอดคล้องกับสมการนั้น แต่ไม่สอดคล้องกับโจทย์

วิธีก็คือ $f(a)=0 $ ก็ต่อเมื่อ $a=0$ ดังนั้นพิจารณากรณีที่ $y\not= 0$ จะได้ $f(y-f(y))=0$ ดังนั้น $f(y)=y$