[กขฃคฅฆง]

$f(x+f(y))+2f(xy)=f(x+y)+xf(y)+yf(x) ...(1)$

สลับตัวแปรได้

$f(x+f(y)) = f(y+f(x)) ...(2)$

ถ้า $f(0) \not= 0$ แทน $y=0$ ใน (1) และใช้ (2) ได้

$f(f(x))+2f(0) = f(x)+xf(0) ...(3)$

ให้ $f(x)=f(y)$ จะได้

$f(f(x))+2f(0) = f(f(y))+2f(0)$

$f(x)+xf(0) = f(y)+yf(0)$

$x=y$ ดังนั้น $f : 1-1$

จาก(2)ได้ $x+f(y) = y+f(x)$

แทน $y=0$ ได้ $f(x) = x+f(0)$ ตรวจสอบพบว่าไม่ใช่คำตอบ

ดังนั้น $f(0)=0$ จาก (3) ได้ $f(f(x))=f(x)$

แทน $y=f(y)$ ใน(1)

$f(x+f(y))+2f(xf(y)) = f(x+f(y))+xf(y)+f(x)f(y)$

$2f(xf(y)) = xf(y)+f(x)f(y)$

แทน $x=1$ ได้ $2f(f(y)) = f(y)+f(1)f(y)$

$f(y) = f(1)f(y)$

ถ้า $f(x)=0$ ทุก $x$ จะเห็นว่าเป็นคำตอบ

ถ้ามี $a \in \mathbb{R} $ ที่ $f(a)\not= 0$

แทน $y=a$ ได้ $f(1)=1$

แทน $y=1$ ใน (1)

$f(x+1)+2f(x) = f(x+1)+x+f(x)$

$f(x) = x$ ตรวจสอบพบว่าเป็นคำตอบ

ดังนั้น $f(x) = 0$ หรือ $f(x) = x$