ได้แล้วครับ
วันที่ 2 ข้อที่ 6
คูณทั้งเศษทั้งส่วนด้วย \(\frac{1}{a}\) เราจะได้ว่า
\[(\frac{2a-b}{a-b})^2 = (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2\]
ดังนั้น
\[\sum_{cyc} (\frac{2a-b}{a-b})^2 = \sum_{cyc} (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2\]
แทน \(x=\frac{b}{a}-1,y=\frac{c}{b}-1,z=\frac{a}{c}-1\) เราจะได้ว่า \[\begin{array}{rcl}(x+1)(y+1)(z+1) &=& 1 \\
1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz &=& 1 \\
x+y+z+xy+yz+zx+xyz &=& 0 \\
x+y+z+xyz &=& \displaystyle{-\sum_{cyc} xy} \qquad\qquad (1)
\end{array}\]
และเราจะได้ว่า
\[\sum_{cyc} (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2 = \sum_{cyc} (\frac{x-1}{x})^2 \geq 5\]
กระจายเศษส่วนออกมา จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{cyc}[(x-1)^2y^2z^2]}}{x^2y^2z^2}} &\geq& \displaystyle{5} \\
\displaystyle{\sum_{cyc}[(x^2-2x+1)y^2z^2]} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\
\displaystyle{\sum_{cyc} (x^2y^2z^2-2xy^2z^2+y^2z^2)} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\
\displaystyle{3x^2y^2z^2-2\sum_{cyc}xy^2z^2+\sum_{cyc}x^2y^2} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\
\displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2-2\sum_{cyc}xy^2z^2} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\
\displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2-2xyz\sum_{cyc} xy} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\
\text{จาก (1) เราได้ว่า}\qquad \displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2+2xyz(x+y+z+xyz)} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\
\displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2+\sum_{cyc} 2x^2yz} &\geq& \displaystyle{0} \\
\displaystyle{(xy+yz+zx)^2} &\geq& \displaystyle{0}
\end{array}\]
ซึ่งเป็นจริงเสมอครับ