[passer-by]

ข้อ 13 ผมว่าจัดรูปได้ m(2k+5(m-1)) =2³7³ นะครับ หลังจากนั้น ก็คิดคล้ายๆ คุณ nongtum ก็จะได้ k= 181
ข้อ 1(วันแรก) รบกวนคุณ nongtum ขยายความบรรทัดที่หา AD แบบละเอียดกว่านี้นิดนึงได้ไหมครับ

ส่วนข้อ 3 (วันแรก) ขอเสนออีกวิธีที่คำนวณออกมาเป็น ค่าที่ไม่ติด sin ครับ
ลาก เส้นแบ่งครึ่งมุม BD พบ AC ที่ D
ถ้า AB=a ,BC=b จะได้ AD=BD=b และ DC=a-b
พิจารณา สามเหลี่ยม ABD ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{a}{sin72^{\circ}}= \frac{b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}= 2cos36^{\circ}\).....(1)
พิจารณา สามเหลี่ยม BDC ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{b}{sin72^{\circ}}= \frac{a-b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}-1= \frac{1}{2cos36^{\circ}}\).....(2)
ให้ x= a/b ซึ่งคือค่าที่โจทย์ต้องการ ดังนั้น จาก (1) ,(2) จะได้
x² -x-1=0 ได้ \( \large x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
หมายเหตุ : จากคำตอบของคุณ nongtum ผสมกับ คำตอบของผม ยังได้วิธีการ derive ค่า sine ของมุม 18 องศา อีกทางเลือกหนึ่งด้วย

ปิดท้ายด้วย ข้อ 1 วันที่ 2
หลังจากวาดรูปเสร็จแล้ว reflect สามเหลี่ยม BFC และ GH ไปอีกครึ่งของวงกลม กลายเป็น สามเหลี่ยม BfC และ gH ตามลำดับ
จะได้คอร์ด Gg ตัด BC ที่ H ดังนั้น (GH)(GH)=(GH)(gH) = (BH)(HC).....(1)
ถ้า กำหนด มุม ABE เป็น x องศา จะได้มุม BFC= 90+x = BfC และ มุม BAC=90-x
ดังนั้น BfC +BAC =180 องศา แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABfC เป็น cyclic
ด้วยเหตุผลคล้ายกับสมการ (1) จะได้(AH)(HF)= (AH)(Hf)=(BH)(HC) ........(2)
จาก (1),(2) completes the proof

หมายเหตุ : ผมชอบฟังก์ชันที่คุณ Punk ตอบข้อ 3 วันที่ 2 มากครับ ถ้า unique ด้วยก็เจ๋งเลยครับ