[nongtum]

หมายเหตุ: ยังไงถ้าสะดวกช่วยลงข้อที่เหลือด้วยสิครับ

ตอนที่ 1
5. ตอบ 3 ($(5^{5^5})^{1/5}=5^{5^5/5}$)
10. ตอบ 2 (ตัวส่วนเท่ากัน จะได้ตัวรากทั้งก้อน สมมติเป็น A=3 ยกกำลังสองหนึ่งครั้งจะได้ 9=3+A)
11. ตอบ 1 (เขียนแต่ละตัวในรูปผลบวกของเศษส่วนสองตัว แล้ว telescope sum)

ตอนที่ 2
1. ให้ $a=1...1$ (1 พันตัว) จะได้เทอมในรากเป็น $a\cdot10^{1000}-2a+a=a(10^{1000}-1)=a\cdot9a$ ดังนั้นค่าของรากจึงเป็น $3a=3\dots3$ (3 พันตัว)
2. แยกตัวประกอบจะพบว่า n=1,3,11,13 แต่จะมี n=1,13 เท่านั้นที่ให้จำนวนเฉพาะคือ 11
3. คำตอบคือทุกจำนวนจริง x เมื่อ y ไม่เท่ากับ 7/2
4. 910 มีตัวประกอบ 16 ตัว ตัดตัวประกอบ 1, 910 และ x+1=2 ทิ้ง จะได้โอกาสที่หาเป็น 13/14
5. ผลคูณของเลขท้ายคือ 1x7x9=63 ลงท้ายด้วย 3
6. ข้อนี้โดยไม่เสียนัยสมมติระยะห่างระหว่างบ้านกับท่าเป็น 1 อัตราเร็วฝีพายและกระแสน้ำต่อชั่วโมงเป็น x กับ y จะตั้งได้สองสมการ คือ $$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}-\frac{2}{x}=\frac{16}{60}$$ $$\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{x-2y}-\frac{2}{x}=\frac{32}{60}$$ รวมเทอมแล้วจับสองสมการหารกัน แปลกว่าข้อนี้ผมคิดได้ $x^2:y^2=-2$ ซึ่งมันไม่ควรเป็นเช่นนั้น
7. จับสามสมการบวกกันได้ $\sum x^2y^2=15xyz$ ดังนั้น $x^2y^2=2xyz,\ y^2z^2=10xyz,\ z^2x^2=3xyz$ หรือ $xyz=60,\ yz=10x,\ xy=2z,\ xz=3y$ ดังนั้น $x^2=6,\ z^2=30,\ y^2=20$ และเทอมที่ต้องการหาเท่ากับ 1980.00
8. สมการแรกบวกสามเท่าสมการที่สองแล้วถอดรากที่สามได้ $x+y=10$ สมมติ $y=kx$ แล้วแทนในอัตราส่วนของทั้งสองสมการ แก้หา $k$ ได้ $k=3/2,\ 2/3,\ -1$ ดังนั้น $(x,y)=(4,6),\ (6,4)$
9. ให้ $a=(x+1)^{1/3},\ b=(x-1)^{1/3}$ จะได้ว่า $$\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{a-b}{a^3-b^3}$$ แทน $a,b,x$ แล้ว telescope sum จะได้ผลรวมที่ต้องการเป็น $\frac{1}{2}(2005^{1/3}+2006^{1/3}-1)$
10. เทียบไตรยางค์ได้ค่าจ้างปกติ 1500 บาท ค่าจ้างตามกฎหมาย 1200 บาท ผลต่างจึงเป็น 120 บาท

ตอนที่ 3
2. สมมติว่าสอบมาแล้ว $n$ ครั้งได้ $x$ คะแนน จะได้ว่า้ $\frac{x+10}{n+1}=9,\ \frac{x+5}{n+1}=8$ ดังนั้น $x+10-(x+5)=5=(9-8)(n+1)$ นั่นคือ $n=4$
3. จุด D,E มีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt3,4)$ พาราโบลาในโจทย์จึงเป็นพาราโบลาคว่ำ มีสมการเป็น $y=-x^2+7$ จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ต้องการอยู่ในรูป $(\pm\frac{a}{2},a)$ ดังนั้น $a^2=16$