[nongtum]

ตอนนี้ผมไม่มีเวลาพิมพ์แนวคิด หากไม่ลืมจะมาพิมพ์เพิ่มให้นะครับ

(ต่อจากด้านบน)
ตอนที่ 3
1. 9 ตารางเมตร
(ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางวงกลมไปหาจุดสัมผัสทั้งสี่ แล้วหาความยาวเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่จะ้เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวรัศมีและความยาวเส้นรอบรูป)

4. 3:4:5 หรือ 5:4:3 (ขึ้นอยู่กับว่ามุม P หรือ Q เป็นมุมฉาก)
แนวคิด: สมมติด้านประกอบมุมฉาก $PR,PQ$ ยาว $x,y$ ตามลำดับ จะได้ว่า $2y=x+\sqrt{x^2+y^2}$ เพราะ $y>0$ จะได้ $x:y:\sqrt{x^2+y^2}=3:4:5$
(กรณี Q เป็นมุมฉากก็ทำคล้ายๆกัน)

ตอนที่ 1
1. 4 ($a_0=1,\ a_1=3=2^{1+1}-1,\ a_2=7=2^{2+1}-1,\dots, a_{100}=2^{101}-1$)

2. 4
แนวคิด: ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ลาก $OD\perp CD$ ที่ $E$ จะได้ $ED=DB:=x$ (รูปที่ผมใช้เรียงจุดจากซ้ายไปขวาดังนี้ A,C,E,D,B)
โดยพีทากอรัสจะได้ $16-x^2=25-4x^2$ ดังนั้น $AB=4x=4\sqrt3$

3. 2 (จับแฝดสามทั้งสองชุดมัดติดกันก่อน แบ่งสี่คนที่เหลือเป็นคู่ๆได้ ${4\choose 2}=6$ แบบ แต่เมื่อลองจับแฝดสามเข้ากลุ่มจะพบว่า จำนวนวิธีการจัดกลุ่มขึ้นอยู่กับสี่คนนี้เท่านั้น)

4. 4
แนวคิด: สมมติก่อนแบ่งมีขนม $S$ ชิ้น นรินทร์หยิบไป $S/4$ ชิ้น
หากวิบูลย์หยิบเป็นคนที่สอง เขาจะหยิบไป $\frac34\cdot\frac{3s}4=\frac{s}4$ ชิ้น ขนมจะเหลือ S/2=22 ชิ้น ทำให้ S=44 ชิ้น
หากวิบูลย์หยิบเป็นคนที่สาม เขาจะหยิบไป $\frac12(\frac{3s}4-20)=2$ ชิ้น ทำให้ S=32 ชิ้น

6. 1 (ข้อนี้อธิบายลำบากหากไม่วาดรูป ในที่นี้ผมไล่จุดบนเส้นรอบวงล้อมสามเหลี่ยม ABC จากตำแหน่ง 12:00 ตามเข็มนาฬิกาดังนี้: C,B,F,E,A)
แนวคิด: ให้ $\angle CAB=\angle BAD=x,\ \angle EDC=y,\ \angle ABC=\angle ABD=z\, \angle DCF=w$
หลังจากไล่มุมตามจุด $A,B,C,D,E$ เท่าที่ได้ไปสักพัก จาก $90^\circ -z=x+y$ พิจารณาที่จุด $D$ จะได้ข้อ ข. แล้วจะได้ข้อ ก. มาเป็นผลพลอยได้
เพราะ $90^\circ -z=x+w$ จะได้ $w+x=x+y$ นั่นคือ $w=y$ (ข้อ ค.)

7. 1 (ให้ $AD=DC/3=x$ โดยสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ CD=$\sqrt3x$ ดังนั้น $AC: DC=\sqrt{1+3}:\sqrt{3+9}=1:\sqrt3$)

8. 2
แนวคิด: สมมติระยะทางเป็น $d$ และให้แสนกับสืบเดินด้วยอัตราเร็ว $v_1$ และ $v_2$ (ต่อชั่วโมง) เดินมาเจอกันใช้เวลา t ชั่วโมง
ดังนั้น $d=v_1t+v_2t=(t+3/2)v_1=(t+49/6)v_2$ นั่นคือ $\frac{3}{2}v_1=v_2t,\ \frac{49}{6}v_2=v_1t$ หรือ $\frac{v_1}{v_2}=\frac{2t}{3}=\frac{49}{6t}$ ดังนั้น $t=7/2$

9. 3 (สมมติ $a=10b+c$ เมื่อ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และ $c$ เป็นเลขโดด
จาก $a^2=100b^2+20bc+c^2$ เพราะหลักสิบของ $20bc$ เป็นเลขคู่เสมอ หลักสิบของ $a^2$ จะเป็นเลขคี่ได้ หลักสิบของ $c^2$ ต้องเป็นเลขคี่ ซึ่งมีแต่ $c=4,6$ ที่สอดคล้อง)

12. 3 (ตัวอย่างค้านสำหรับสองตัวเลือกแรก: a=15, b=12, c=21, ข้อ ค. ถูกเพราะ 3|a+b+c)