ข้อ 12. ก่อนนะครับ พิมพ์ง่ายดี
ข้อนี้หลักการคือจัดให้อยู่ในรูป S.O.S. (sum of sqaure) ครับ
ซึ่งมีหลักการว่าให้มองว่าตัวแปรมีหนึ่งตัว ตัวที่เหลือเป็นค่าคงตัว
เช่น ค่าต่ำสุดของ $x^2-4xy+5y^2-2y+6$
ถ้ามองว่า $x$ เป็นตัวแปร จะได้
$(x^2 - 4xy + 4y^2) - 4y^2 + 5y^2 - 2y + 6$
$= (x-2y)^2 + (y - 1)^2 + 5$
แสดงว่าค่าต่ำสุดคือ 5 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $y - 1 = 0$ และ $x = 2y$
สำหรับข้อนี้ก็ทำนองเดียวกัน เริ่มต้นให้มองว่า x เป็นตัวแปร y, z เป็นค่าคงตัว
จากนั้นทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วมองว่า y เป็นตัวแปร z เป็นค่าคงตัว
สุดท้ายก็มองว่า z เป็นตัวแปร ก็จะได้สมการที่จัดรูปแล้วทำนองนี้ครับ
$(x-?_1)^2 + k_1(y-?_2)^2 + k_2(z + ?_3)^2 + m$
เมื่อ $k_1, k_2$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งก็จะได้ว่าค่าต่ำสุดจะเท่ากับ m นั่นเอง
หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้ ถ้าผมจำไม่ผิด ในเว็บ bimc2013 กับของเก่า imc2012 จะเฉลยไม่ถูกครับ
ซึ่งผมลองตรวจคำตอบโดยใช้ wolfram แล้วก็พบว่าตรงกับที่ผมคำนวณ ดังนั้นถ้าได้ไม่ตรงเฉลยก็ไม่ต้องแปลกใจครับ.
