[nooonuii]

ขอยกอสมการสำเร็จรูปให้น้อง Magpie ไปก็แล้วกันครับ เพราะสรุปได้เยี่ยมมากเลยครับ ในเมื่อพูดถึงอสมการสำเร็จรูปแล้ว ผมขอต่อด้วยอสมการกึ่งสำเร็จรูปก็แล้วกันครับ ตั้งชื่อให้ดูเก๋ไปงั้นแหละครับ จริงๆแล้วมันก็คืออสมการที่ได้มาจากอสมการสำเร็จรูปอีกทีนึงนั่นเอง แต่เรานำไปใช้ประโยชน์ต่อได้ด้วย ส่วนใหญ่สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายจากอสมการสำเร็จรูปครับ เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำนำไปใช้จะขอเขียนเฉพาะอสมการสำหรับสามตัวแปรเท่านั้น(โจทย์ส่วนใหญ่จะเน้นอสมการสามตัวแปรครับ) ซึ่งบางอสมการอาจจะจริงสำหรับตัวแปรที่มีมากกว่าสามด้วย เอาล่ะลองดูครับว่าเรามีอสมการเหล่านี้ไว้เป็นอาวุธสำหรับทำโจทย์อสมการแล้วหรือยัง

ถ้า $a,b,c,x,y,z>0$ แล้ว

$1. \quad 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

Proof :

โดยอสมการโคชีจะได้ว่า $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
ดังนั้น $3(ab+bc+ca)\leq a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2$
ในขณะเดียวกันเราได้ว่า
$ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$2. \quad (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

Proof :

โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่า $a\leq b\leq c$
ดังนั้นจะได้ว่า
$a-b+c\geq 0$
$-a+b+c\geq 0$
ถ้า $a+b-c\leq 0$ เราจะได้อสมการทันทีเนื่องจากทางซ้ายมือเป็นลบในขณะที่ทางขวามือเป็นบวก
ถ้า $a+b-c\geq 0$ เราจะได้ว่า
$(a+b-c)(a-b+c)=a^2-(b-c)^2 \leq a^2$
$(a-b+c)(-a+b+c)=c^2-(a-b)^2\leq c^2$
$(-a+b+c)(a+b-c)=b^2-(c-a)^2\leq b^2$
คูณทั้งสามอสมการเข้าด้วยกันแล้วถอดรากที่สองจะได้อสมการตามต้องการ

$3. \quad \displaystyle{ (a+b+c)\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\geq 9 }$

Proof :

เป็นผลโดยตรงจากอสมการ AM-HM

$4. \quad \displaystyle{ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} }$

Proof :

โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
$$a+b+c=\frac{a}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\cdot\sqrt{y}+
\frac{c}{\sqrt{z}}\cdot\sqrt{z}\leq\sqrt{\frac{a^2}{x}+
\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{x+y+z}$$
ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วจัดรูปจะได้อสมการตามต้องการ

$5. \quad 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)^2\leq 3(a^4+b^4+c^4)$

Proof :

จะพิสูจน์อสมการแรกให้ดูอย่างเดียว อสมการที่เหลือเป็นผลพลอยได้จากอสมการในข้อ 1 อีกที
โดยอสมการโคชีเราจะได้ว่า
$abc(a+b+c)=ab\cdot bc + bc\cdot ca + ca\cdot ab \leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
ดังนั้น $3abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2$

$6. \quad a^2b+b^2c+c^2a \leq a^3+b^3+c^3$

Proof :

เป็นผลโดยตรงจากอสมการการจัดเรียง

$7. \quad ab^2+bc^2+ca^2 \leq a^3+b^3+c^3$

Proof :

เป็นผลโดยตรงจากอสมการการจัดเรียง

$8. \quad ab(a+b)\leq a^3+b^3$

Proof :

$$a^3-a^2b-ab^2+b^3 = (a^2-b^2)(a-b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0$$

เอาไว้คิดอะไรเพิ่มได้อีกจะมาต่อให้ครับ