[Mastermander]

เนื่องจากกราฟสัมผัสกัน ดังนั้นกราฟต้องผ่านจุดเดียวกันด้วยนั่นคือ
$ a^x=\log_a x$
$ x=a^{a^x}$
เป็นความสัมพันธ์แบบไม่รู้จบ เมื่อแทน $x=a^{a^x}$ ลงใน $x$ ข้างบนจะได้ $x=a^{a^{a^{a^x}}}$

ทำไปเรื่อยๆจะได้ความสัมพันธ์ \[
x=a^{a^{a^{a^\dots}}}\]

และจะได้ว่า $a^x=x$ ดังนั้น $x\ln a=\ln x$

นำไปแทนในสมการที่คุณคิดไว้จะได้ \[
x\ln a = \frac{1}{{x\ln a}}
\]
\[
\left( {\ln x} \right)^2 = 1 \to \ln x = \pm 1
\]
กรณีที่1: $\ln x = 1$ จะได้ $x=e$ นั่นคือ $e=a^{a^{a^{a^\dots}}}$

ได้คำตอบคือ $a=e^{1/e}$

$\ln x = 1$

กรณีที่2: $\ln x = -1$ จะได้ $x=e^{-1}$ นั่นคือ $e^{-1}=a^{a^{a^{a^\ldots}}}$

ได้คำตอบคือ $a=e^{-e}$

ปล.โจทย์ดีมากครับ