อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer
ปิดเทอมว่างๆ นั่งคิดโจทย์ได้ข้อหนึ่ง เลยเอามาปล่อยกระตุ้นห้องนี้สักหน่อย ^^
ให้ $x,y,z>0$ และ $x+y+z=3$
จงพิสูจน์ว่า
$$(\sqrt{x^2+x}+ \sqrt{y^2+y}+ \sqrt{z^2+z})^2 \ge 6(\sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} ) $$
|
อสมการพื้นฐานธรรมดาเลยครับ โดย power mean
$(\sqrt{x^2+x}+ \sqrt{y^2+y}+ \sqrt{z^2+z})^2 \ge \dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x}+y+\sqrt{y}+z+\sqrt{z})^2 $
$= \dfrac{1}{2}(3+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$
$= \dfrac{1}{2}(9+6(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2)$
$\ge \dfrac{1}{2}(12(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}))$
$= 6(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$