อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat
ให้ $a_n = 2+4+6+.....+2n$
$b_n = a_1+a_2+a_3...+a_n$
หา $\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$
ได้ว่า $a_n = n(n+1)$
$b_n = \sum_{k = 1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$
$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $
ให้ $c_n = \dfrac{n+1}{b_n} = \dfrac{3}{n(n+2)} = \dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}
{n+2}]$
$\therefore \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $
$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} c_k]$
$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}] ] $
$= \lim_{n \to \infty}[\dfrac{3}{2}[\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}]]$
$= \dfrac{9}{4}$
|
โทษนะครับ
ตรงสีแดงนี่ต้องเป็น $b_n$ รึป่าวครับ
แล้วตรงนี้ไปยังไงเหรอครับถึงได้มาเป็นแบบนี้
$b_n = \sum_{k = 1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$