ข้อ 23. โจทย์บกพร่อง
$\sin A(\sin A + \sin B) = \cos B(\cos A + \cos B)$
$(\sin A)(2\sin \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}) = (\cos B)(2\cos \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2})$
ดังนั้น $\cos \frac{A-B}{2} = 0$ ... (1)
หรือ $2\sin A \sin \frac{A+B}{2} = 2\cos B \cos \frac{A+B}{2}$ ... (2)
$\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{3A+B}{2} = \cos \frac{A+3B}{2} + \cos \frac{A-B}{2}$
$\cos \frac{3A+B}{2} + \cos \frac{A+3B}{2} = 0$
$2\cos(A+B)\cos \frac{A-B}{2} = 0$
$\cos(A+B) = 0$ หรือ $\cos \frac{A-B}{2} = 0$
ดังนั้นจากสมการ (1) และ (2) สรุปได้ว่า
ถ้า $\sin A(\sin A + \sin B) = \cos B(\cos A + \cos B)$
แล้ว $\cos \frac{A-B}{2} = 0$ หรือ $\cos(A+B) = 0$
ดังนั้น $\frac{A-B}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$ หรือ $A + B = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$A = 2n\pi + \pi + B$ หรือ $A = n\pi + \frac{\pi}{2} - B$
เมื่อตรวจคำตอบแล้วจะพบว่าทำให้สมการเป็นจริง
แต่เงื่อนไขทั้งสอง ไม่เป็นจริงในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ดังนั้นโจทย์บกพร่อง