$n^2+n+34=x^2$
$4n^2+4n+136=(2x)^2$, ให้ $2x=y$
$4n^2+4n+136=y^2$
$(2n+1)^2+135 =y^2$
$135=(y+2n+1)(y-2n-1)$
เช่น $y+2n+1=135, y-2n-1=1$, จะได้ $4n+2 = 134$ แล้ว $n=33$
ให้เลขที่ระบุบนบัตรเป็น $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$
สมมุติ ถ้ามีบัตรที่ทาสีเขียวได้ 10 ใบแล้ว จะได้ว่า
$a_1+a_3 < 2a_2$
$a_2+a_4 < 2a_3$
$a_3+a_5 < 2a_4$
$a_4+a_6 < 2a_5$
$a_5+a_7 < 2a_6$
$a_6+a_8 < 2a_7$
$a_7+a_9 < 2a_8$
$a_8+a_{10} < 2a_9$
$a_9+a_1 < 2a_{10}$
$a_{10}+a_2 < 2a_1$
ผลรวมของด้านซ้ายและขวาของอสมการจะเป็น $2\sum a_i < 2\sum a_i$ , $i=1, 2, \ldots, 10\;$ซึ่งขัดแย้ง
ตัวอย่างรูปแบบที่มีบัตรทาสีเขียว $9$ ใบ (ยกเว้นบัตรเลข $1$)
$1, 10, 18, 25, 31, 36, 40, 43, 45, 46$ เรียงเป็นวงกลม
ดังนั้น จำนวนบัตรที่ทาสีเขียวมากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $9$ ใบ