[nooonuii]

$a+b+c=1$
$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\Big((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\Big)=-\dfrac{1}{2}$
$3abc=(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{6}$
เราจึงได้
$a^4+b^4+c^4=(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{6}(a+b+c)=\dfrac{25}{6}$

$a^5+b^5+c^5=(a^4+b^4+c^4)+\dfrac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)=6$